Considere a função
dada na expressão . Apresente uma expressão equivalente para
em termos da função Heaviside (degrau unitário) e calcule
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função por partes: f(t)=0 para t<1, f(t)=2 para 1≤t<3 e f(t)=1 para t≥3. O assunto é representar essa f(t) com a função de Heaviside u(t–a) e calcular sua transformada de Laplace. Para isso precisaremos da definição de u(t–a) e da propriedade
.
Passo 2
A função de Heaviside é definida por
se
e
se
. Como f(t) salta de 0 para 2 em t=1 e depois de 2 para 1 em t=3, esboçamos f(t) em termos de degraus:
Escrevendo f(t) como soma de degraus, temos
Escrevendo f(t) como soma de degraus, temos
$$\begin{aligned}f(t)&=2\bigl[u(t-1)-u(t-3)\bigr]+1,u(t-3)\&=2,u(t-1)-2,u(t-3)+u(t-3)\&=2,u(t-1)-u(t-3),.
\end{aligned}$$
Passo 3
Usando a propriedade de mudança no tempo da transformada de Laplace,
Passo 4
Somando as duas partes obtemos a transformada de Laplace de f(t).