Considere a função f(t) dada na expressão . Apresente uma expressão equivalente para f(t)=lll0, & se t<1 2, & se & 1 <= t<3 1, & se & t >= 3 em termos da função Heaviside (degrau unitário) e calcule f(t).

Passo 1

O enunciado nos dá uma função por partes: f(t)=0 para t<1, f(t)=2 para 1≤t<3 e f(t)=1 para t≥3. O assunto é representar essa f(t) com a função de Heaviside u(t–a) e calcular sua transformada de Laplace. Para isso precisaremos da definição de u(t–a) e da propriedade Lu(ta)=e^-as/s.

Passo 2

A função de Heaviside é definida por u(ta)=0 se t e u(ta)=1 se t>= a. Como f(t) salta de 0 para 2 em t=1 e depois de 2 para 1 em t=3, esboçamos f(t) em termos de degraus:
Escrevendo f(t) como soma de degraus, temos
$$\begin{aligned}f(t)&=2\bigl[u(t-1)-u(t-3)\bigr]+1,u(t-3)\&=2,u(t-1)-2,u(t-3)+u(t-3)\&=2,u(t-1)-u(t-3),.
\end{aligned}$$

Passo 3

Usando a propriedade de mudança no tempo da transformada de Laplace,
Lu(t-a)=e^-ass, podemos calcular Lf(t) somando as contribuições:
L2,u(t-1)=2,e^-ss, L-u(t-3)=-e^-3ss

Passo 4

Somando as duas partes obtemos a transformada de Laplace de f(t).

Resposta

Lf(t)=2e^-s-e^-3ss

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