Questão 2.[2,50 pontos]

Calcule a área da esfera de raio r centrada na origem usando integral de superfície.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da esfera de raio r centrada na origem usando integral de superfície. O conteúdo é parametrização de superfície e cálculo de área via integral dupla, usando a magnitude do produto vetorial dos vetores tangentes.

Passo 2

Parametrizamos a esfera pelas coordenadas esféricas: definimos
\mathbf{r}(\varphi,\theta)=\bigl(x(\varphi,\theta),y(\varphi,\theta),z(\varphi,\theta)\bigr) =(r\sin\varphi\cos\theta,\;r\sin\varphi\sin\theta,\;r\cos\varphi),
com 0\le\varphi\le\pi (colatitude) e 0\le\theta\le2\pi (longitude).

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes:
\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\varphi} =(r\cos\varphi\cos\theta,\;r\cos\varphi\sin\theta,\;-r\sin\varphi),
\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta} =(-r\sin\varphi\sin\theta,\;r\sin\varphi\cos\theta,\;0).

Passo 4

O elemento de área é dado por
\Bigl\|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\varphi}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta}\Bigr\| =r^{2}\sin\varphi.
Logo, a área total é
\iint_{\text{esfera}}dS =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}r^{2}\sin\varphi\;d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Resolvendo a integral:
\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{\pi}r^{2}\sin\varphi\,d\varphi =2\pi\;r^{2}\Bigl[-\cos\varphi\Bigr]_{0}^{\pi} =2\pi\,r^{2}\,(2) =4\pi\,r^{2}.

Resposta

A área da esfera de raio r é 4\pi r^{2}.

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