Considere a função
e faça o que se pede.
a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos de máximos e mínimos locais de
(usando o teste da primeira derivada).
b) Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e o(s) ponto(s) de inflexão de
.
a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos de máximos e mínimos locais de
b) Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e o(s) ponto(s) de inflexão de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede em (a) os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos de máximo e mínimo locais usando o teste da primeira derivada, e em (b) os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão usando a segunda derivada. Vamos aplicar cálculo de derivadas para identificar esses pontos.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada para achar os pontos críticos.
Fatorando em seguida:
Os pontos onde
são
e
.
Passo 3
Usamos o sinal de
para determinar monotonicidade:
Para , escolha
:
, logo
, crescente.
Para , escolha
:
, logo
, decrescente.
Para , escolha
:
, logo
, crescente.
Assim, em a função passa de crescente a decrescente (máximo local) e em
de decrescente a crescente (mínimo local).
Calculamos os valores:
Para
Para
Para
Assim, em
Calculamos os valores:
Passo 4
Para concavidade e inflexão, calculamos a segunda derivada:
A condição
dá
.
Para ,
(concavidade para baixo).
Para ,
(concavidade para cima).
O ponto de inflexão é em . Calculamos
Para
Para
O ponto de inflexão é em
Resposta
a)
é crescente em
e em
, decrescente em
. Tem máximo local em
e mínimo local em
.
b) é côncava para baixo em
e côncava para cima em
. Há ponto de inflexão em
.
b)