Considere a função
f(x)=2 x^{3}-3 x^{2}-12 x
e faça o que se pede.
a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos de máximos e mínimos locais de f (usando o teste da primeira derivada).
b) Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e o(s) ponto(s) de inflexão de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x
e pede em (a) os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos de máximo e mínimo locais usando o teste da primeira derivada, e em (b) os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão usando a segunda derivada. Vamos aplicar cálculo de derivadas para identificar esses pontos.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada para achar os pontos críticos.
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}-3x^{2}-12x\bigr) =6x^{2}-6x-12
Fatorando em seguida:
f'(x)=6\bigl(x^{2}-x-2\bigr) =6(x-2)(x+1).
Os pontos onde f'(x)=0 são x=-1 e x=2.

Passo 3

Usamos o sinal de f'(x) para determinar monotonicidade:
Para x<-1, escolha x=-2: (x-2)(x+1)>0, logo f'(x)>0, crescente.
Para -1<x<2, escolha x=0: (0-2)(0+1)<0, logo f'(x)<0, decrescente.
Para x>2, escolha x=3: (3-2)(3+1)>0, logo f'(x)>0, crescente.
Assim, em x=-1 a função passa de crescente a decrescente (máximo local) e em x=2 de decrescente a crescente (mínimo local).
Calculamos os valores:
f(-1)=2(-1)^{3}-3(-1)^{2}-12(-1)=-2-3+12=7,
f(2)=2\cdot8-3\cdot4-24=16-12-24=-20.

Passo 4

Para concavidade e inflexão, calculamos a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(6x^{2}-6x-12\bigr) =12x-6.
A condição f''(x)=0 x=\tfrac12.
Para x<\tfrac12, 12x-6<0 (concavidade para baixo).
Para x>\tfrac12, 12x-6>0 (concavidade para cima).
O ponto de inflexão é em x=\tfrac12. Calculamos
f\bigl(\tfrac12\bigr) =2\bigl(\tfrac12\bigr)^{3}-3\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}-12\bigl(\tfrac12\bigr) =\tfrac{1}{4}-\tfrac{3}{4}-6 =-\tfrac{1}{2}-6 =-\tfrac{13}{2}.

Resposta

a) f é crescente em (-\infty,-1) e em (2,\infty), decrescente em (-1,2). Tem máximo local em \bigl(-1,7\bigr) e mínimo local em \bigl(2,-20\bigr).
b) f é côncava para baixo em (-\infty,\tfrac12) e côncava para cima em (\tfrac12,\infty). Há ponto de inflexão em \bigl(\tfrac12,-\tfrac{13}{2}\bigr).

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