Considere a função
f(x)=\frac{x^{4}}{4}-2 x^{2}
usando o teste da primeira derivada, determine:
a) Os pontos críticos de f;
b) Os intervalos de crescimento e decrescimento de f;
c) Os pontos de máximo e mínimo.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{4}}{4}-2x^{2}
e pede, via teste da primeira derivada, (a) os pontos críticos, (b) os intervalos de crescimento e decrescimento e (c) a classificação desses pontos em máximo ou mínimo.

Passo 2

Calcular a derivada primeira de f. Como
f(x)=\frac{x^{4}}{4}-2x^{2},
usamos regra de potência e soma para obter
f'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x^{4}}{4}\Bigr)-\frac{d}{dx}(2x^{2}) =\;x^{3}-4x.

Passo 3

Determinar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
x^{3}-4x=0 \;\Longleftrightarrow\;x(x^{2}-4)=0 \;\Longleftrightarrow\;x=0,\;x^{2}=4 \;\Longleftrightarrow\;x=-2,\;0,\;2.

Passo 4

Analisar o sinal de f'(x)=x(x-2)(x+2) em cada intervalo determinado pelos críticos:
  • Em (-\infty,-2), escolhemos x=-3: f'(-3)=-3\,( \dots )<0 \Rightarrow decresce.
  • Em (-2,0), escolhemos x=-1: f'(-1)>0 \Rightarrow cresce.
  • Em (0,2), escolhemos x=1: f'(1)<0 \Rightarrow decresce.
  • Em (2,\infty), escolhemos x=3: f'(3)>0 \Rightarrow cresce.

Passo 5

Classificar cada ponto crítico pelo teste da primeira derivada e calcular f(x) nesses pontos:
  • Em x=-2, f' muda de negativo para positivo \Rightarrow mínimo. f(-2)=\frac{(-2)^{4}}{4}-2(-2)^{2} =\frac{16}{4}-2\cdot4 =4-8=-4.
  • Em x=0, f' muda de positivo para negativo \Rightarrow máximo. f(0)=0-0=0.
  • Em x=2, f' muda de negativo para positivo \Rightarrow mínimo. f(2)=\frac{16}{4}-2\cdot4 =4-8=-4.

Resposta

a) Os pontos críticos são x=-2, x=0 e x=2.
b) f é decrescente em (-\infty,-2) e (0,2); crescente em (-2,0) e (2,\infty).
c) Há mínimo local em (-2,-4) e em (2,-4); máximo local em (0,0).

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