Considere a função
usando o teste da primeira derivada, determine:
a) Os pontos críticos de
;
b) Os intervalos de crescimento e decrescimento de
;
c) Os pontos de máximo e mínimo.
a) Os pontos críticos de
b) Os intervalos de crescimento e decrescimento de
c) Os pontos de máximo e mínimo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, via teste da primeira derivada, (a) os pontos críticos, (b) os intervalos de crescimento e decrescimento e (c) a classificação desses pontos em máximo ou mínimo.
Passo 2
Calcular a derivada primeira de
. Como
usamos regra de potência e soma para obter
Passo 3
Determinar os pontos críticos resolvendo
:
Passo 4
Analisar o sinal de
em cada intervalo determinado pelos críticos:
- Em
, escolhemos : decresce. - Em
, escolhemos : cresce. - Em
, escolhemos : decresce. - Em
, escolhemos : cresce.
Passo 5
Classificar cada ponto crítico pelo teste da primeira derivada e calcular
nesses pontos:
- Em
, muda de negativo para positivo mínimo. - Em
, muda de positivo para negativo máximo. - Em
, muda de negativo para positivo mínimo.
Resposta
a) Os pontos críticos são
,
e
.
b) é decrescente em
e
; crescente em
e
.
c) Há mínimo local em e em
; máximo local em
.
b)
c) Há mínimo local em