Se g(x)=x \cdot e^{-2 x}, determine:
a) Exiba os pontos críticos de g;
b) Usando o teste da segunda derivada, verifique se esse ponto é máximo ou mínimo;
c) Determine os intervalos onde o gráfico de g possui concavidade para cima e onde g possui concavidade para baixo.

Passo 1

O enunciado define a função
g(x)=x\,e^{-2x}
e pede:
a) os pontos críticos (onde g'(x)=0);
b) classificação do ponto crítico via o teste da segunda derivada;
c) intervalos de concavidade de g (onde g''(x)>0 e onde g''(x)<0).

Passo 2

Para achar os pontos críticos, calculamos a derivada primeira por regra do produto. Derivando x e e^{-2x} temos
g'(x) =\frac{d}{dx}(x)\,e^{-2x}+x\,\frac{d}{dx}(e^{-2x}) =1\cdot e^{-2x}+x\cdot(-2)e^{-2x} =e^{-2x}(1-2x).
Como e^{-2x}>0 para todo x, a solução de g'(x)=0 vem de
1-2x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac12.
Logo, o único ponto crítico é x=\tfrac12.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada para classificar o ponto crítico. Derivando
g'(x)=e^{-2x}(1-2x)
por regra do produto,
g''(x) =\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}\bigr)(1-2x) +e^{-2x}\,\frac{d}{dx}(1-2x) =-2e^{-2x}(1-2x)+e^{-2x}(-2) =4e^{-2x}(x-1).
Em x=\tfrac12 isso vale
g''\bigl(\tfrac12\bigr) =4e^{-1}\bigl(\tfrac12-1\bigr) =4e^{-1}\bigl(-\tfrac12\bigr) =-2e^{-1}<0,
logo há um máximo local em x=\tfrac12.

Passo 4

Para estudar a concavidade, verificamos o sinal de
g''(x)=4e^{-2x}(x-1).
Como 4e^{-2x}>0, o sinal de g''(x) é o de (x-1).
Para x<1 temos x-1<0, então g''(x)<0 e g é côncava para baixo.
Para x>1 temos x-1>0, então g''(x)>0 e g é côncava para cima.

Resposta

(a) O ponto crítico é x=\tfrac12.
(b) Como g''(\tfrac12)<0, é um máximo local em x=\tfrac12.
(c) g é côncava para baixo em (-\infty,1) e côncava para cima em (1,\infty).

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