Se
, determine:
a) Exiba os pontos críticos de
;
b) Usando o teste da segunda derivada, verifique se esse ponto é máximo ou mínimo;
c) Determine os intervalos onde o gráfico de
possui concavidade para cima e onde
possui concavidade para baixo.
a) Exiba os pontos críticos de
b) Usando o teste da segunda derivada, verifique se esse ponto é máximo ou mínimo;
c) Determine os intervalos onde o gráfico de
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
a) os pontos críticos (onde );
b) classificação do ponto crítico via o teste da segunda derivada;
c) intervalos de concavidade de (onde
e onde
).
a) os pontos críticos (onde
b) classificação do ponto crítico via o teste da segunda derivada;
c) intervalos de concavidade de
Passo 2
Para achar os pontos críticos, calculamos a derivada primeira por regra do produto. Derivando
e
temos
Como
para todo
, a solução de
vem de
Logo, o único ponto crítico é
.
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada para classificar o ponto crítico. Derivando
por regra do produto,
Em
isso vale
logo há um máximo local em
.
Passo 4
Para estudar a concavidade, verificamos o sinal de
Como
, o sinal de
é o de
.
Para temos
, então
e
é côncava para baixo.
Para temos
, então
e
é côncava para cima.
Para
Para
Resposta
(a) O ponto crítico é
.
(b) Como , é um máximo local em
.
(c) é côncava para baixo em
e côncava para cima em
.
(b) Como
(c)