\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{1}{\sqrt{2 x-1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{1}{\sqrt{2x-1}} \,dx
que é uma integral imprópria porque, em x=\tfrac12, o denominador \sqrt{2x-1} fica zero. Vamos tratar a impropriedade e usar uma substituição para encontrar o valor exato.

Passo 2

Para lidar com a singularidade em x=\tfrac12, reescrevemos a integral como
\lim_{a\to\frac12^+}\int_{a}^{2}\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\,dx.
Como \frac{1}{\sqrt{2x-1}}\sim (x-\tfrac12)^{-1/2} perto de x=\tfrac12, essa integral converge. Agora fazemos a substituição que simplifica a raiz.

Passo 3

Definimos
u = 2x - 1, \quad du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.
Quando x = a (tendendo a \tfrac12), temos u = 2a-1\to 0. E quando x=2, temos u=3. A integral vira
\lim_{u_a\to0^+}\int_{u_a}^{3}\frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{2} =\frac12\int_{0}^{3}u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Calculamos a antiderivada de u^{-1/2}:
\int u^{-\tfrac12}\,du =2\,u^{\tfrac12}.
Logo
\frac12\int_{0}^{3}u^{-\tfrac12}\,du =\frac12\bigl[2\,u^{\tfrac12}\bigr]_{0}^{3} =\bigl[u^{\tfrac12}\bigr]_{0}^{3} =\sqrt{3}-0.

Resposta

\sqrt{3}

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