Dada a função f(x)=x^{5}-10 x^{3}+20 x, classifique os pontos críticos de f em máximos locais, mínimos locais ou de inflexão.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(x)=x^{5}-10x^{3}+20x
e queremos encontrar os pontos críticos (onde f'(x)=0) e depois usar a segunda derivada para decidir se cada um é máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada e achamos onde ela se anula.
f'(x)=5x^{4}-30x^{2}+20 =5\bigl(x^{4}-6x^{2}+4\bigr).
Para f'(x)=0 basta resolver
x^{4}-6x^{2}+4=0.
Fazendo t=x^{2} temos
t^{2}-6t+4=0 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{6\pm\sqrt{36-16}}{2}=3\pm\sqrt{5}.
Logo
x^{2}=3+\sqrt{5} \quad\text{ou}\quad x^{2}=3-\sqrt{5},
de onde os pontos críticos são
x=\pm\sqrt{3+\sqrt{5}} \quad\text{e}\quad x=\pm\sqrt{3-\sqrt{5}}.

Passo 3

Agora pegamos a segunda derivada para aplicar o teste da segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(5x^{4}-30x^{2}+20\bigr) =20x^{3}-60x =20x\,(x^{2}-3).
Se em um ponto crítico x_c tivermos f''(x_c)>0, é mínimo local; se f''(x_c)<0, é máximo local; se f''(x_c)=0, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos avaliar f'' em cada ponto crítico.
Para x=\pm\sqrt{3+\sqrt{5}}:
\;x^{2}-3=\sqrt{5}>0.
  • Se x=+\sqrt{3+\sqrt{5}}, então x>0 e x^{2}-3>0, logo f''\bigl(\sqrt{3+\sqrt{5}}\bigr) =20\cdot\sqrt{3+\sqrt{5}}\cdot\sqrt{5}>0,mínimo local.
  • Se x=-\sqrt{3+\sqrt{5}}, então x<0 e x^{2}-3>0, logo f''\bigl(-\sqrt{3+\sqrt{5}}\bigr) =20\cdot(-\sqrt{3+\sqrt{5}})\cdot\sqrt{5}<0,máximo local.
Para x=\pm\sqrt{3-\sqrt{5}}:
\;x^{2}-3=-\sqrt{5}<0.
  • Se x=+\sqrt{3-\sqrt{5}}, então x>0 e x^{2}-3<0, logo f''\bigl(\sqrt{3-\sqrt{5}}\bigr) =20\cdot\sqrt{3-\sqrt{5}}\cdot(-\sqrt{5})<0,máximo local.
  • Se x=-\sqrt{3-\sqrt{5}}, então x<0 e x^{2}-3<0, logo f''\bigl(-\sqrt{3-\sqrt{5}}\bigr) =20\cdot(-\sqrt{3-\sqrt{5}})\cdot(-\sqrt{5})>0,mínimo local.

Resposta

-\sqrt{3+\sqrt{5}} é ponto de máximo local.
-\sqrt{3-\sqrt{5}} é ponto de mínimo local.
\sqrt{3-\sqrt{5}} é ponto de máximo local.
\sqrt{3+\sqrt{5}} é ponto de mínimo local.

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