Determine a derivada das funções abaixo:
y=\left(x^{2}-x+1\right)^{23}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • É pedido calcular a derivada da função y em relação a x.
  • A função dada é y=\left(x^{2}-x+1\right)^{23}.
  • Informação útil que já temos: a função é uma composição de uma potência (expoente 23) com um polinômio interno x^{2}-x+1.

Passo 2

Ferramenta principal: regra da cadeia (explicação didática).
  • A regra da cadeia serve para derivar funções compostas, ou seja, funções da forma y=f(g(x)).
  • A regra diz que a derivada de y=f(g(x)) é
\frac{dy}{dx}=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
  • Aqui f é a função externa e g é a função interna. Primeiro derivamos a externa em relação à interna (como se a interna fosse uma variável), depois multiplicamos pela derivada da interna em relação a x.
  • Um caso muito comum e útil é quando a externa é uma potência: se y=[g(x)]^{n} com n constante, então aplicando a regra da cadeia junto com a regra do poder obtemos
\frac{dy}{dx}=n\,[g(x)]^{\,n-1}\cdot g'(x).
  • Nesta fórmula:
    • n é o expoente (aqui n=23),
    • g(x) é a função interna,
    • g'(x) é a derivada da função interna.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso caso: identificar a função interna e computar sua derivada.
  • Tomo a função interna como
u=g(x)=x^{2}-x+1.
  • Agora calculo a derivada de u em relação a x. Uso a regra do poder para cada termo do polinômio:
    • derivada de x^{2} é 2x (porque \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}),
    • derivada de -x é -1,
    • derivada de 1 (constante) é 0.
  • Portanto
\frac{du}{dx}=2x-1.

Passo 4

Derivar a parte externa e multiplicar pela derivada da interna (finalizando a regra da cadeia).
  • A parte externa é u^{23}. Sua derivada em relação a u é
\frac{d}{du}u^{23}=23\,u^{22}.
  • Pela regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{du}u^{23}\cdot\frac{du}{dx}=23\,u^{22}\cdot(2x-1).
  • Voltando ao x (substituindo u=x^{2}-x+1) obtemos a expressão final da derivada:
\frac{dy}{dx}=23\left(x^{2}-x+1\right)^{22}\!(2x-1).

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=23\left(x^{2}-x+1\right)^{22}(2x-1)

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