Determine a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- É pedido calcular a derivada da função
em relação a . - A função dada é
. - Informação útil que já temos: a função é uma composição de uma potência (expoente
) com um polinômio interno .
Passo 2
Ferramenta principal: regra da cadeia (explicação didática).
- A regra da cadeia serve para derivar funções compostas, ou seja, funções da forma
. - A regra diz que a derivada de
é
- Aqui
é a função externa e é a função interna. Primeiro derivamos a externa em relação à interna (como se a interna fosse uma variável), depois multiplicamos pela derivada da interna em relação a . - Um caso muito comum e útil é quando a externa é uma potência: se
com constante, então aplicando a regra da cadeia junto com a regra do poder obtemos
- Nesta fórmula:
-
é o expoente (aqui ), -
é a função interna, -
é a derivada da função interna.
-
Passo 3
Aplicando a ideia ao nosso caso: identificar a função interna e computar sua derivada.
- Tomo a função interna como
- Agora calculo a derivada de
em relação a . Uso a regra do poder para cada termo do polinômio: - derivada de
é (porque ), - derivada de
é , - derivada de
(constante) é .
- derivada de
- Portanto
Passo 4
Derivar a parte externa e multiplicar pela derivada da interna (finalizando a regra da cadeia).
- A parte externa é
. Sua derivada em relação a é
- Pela regra da cadeia:
- Voltando ao
(substituindo ) obtemos a expressão final da derivada: