Determine a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função dada. A função que nos deram é
Informações relevantes fornecidas:
- A variável independente é
. - A função é uma composição: uma função externa
aplicada à função interna . - Não há mais dados numéricos ou condições a considerar.
Passo 2
Identificar a estratégia: como temos uma função composta, vamos usar a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia de forma bem direta e prática.
Regra da cadeia (forma verbal): se uma função
é dada por
, então a derivada de
em relação a
é o produto da derivada da função externa avaliada na função interna pela derivada da função interna. Em símbolos:
Aqui:
-
é a função externa (no nosso caso ); -
é a função interna (no nosso caso ); -
é a derivada de em relação a ; -
é a derivada de em relação a .
Passo 3
Derivada da função externa: considere
com
sendo uma variável independente. A derivada de
em relação a
é
Explicação curta: a função cosseno tem derivada negativa do seno. Isso é um fato padrão das regras de derivação de funções trigonométricas.
Passo 4
Derivada da função interna: temos
. Usamos a regra do poder (power rule) e a regra de derivada de constante:
- Regra do poder: se
, então . Aplicando com dá a derivada de igual a . - A derivada de uma constante (como
) é .
Portanto
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia juntando o resultado do Passo 3 e do Passo 4. Com
temos
Substituindo
obtemos a expressão para a derivada (antes de simplificar):