Determine a derivada das funções abaixo:
y=\cos \left(x^{2}+9\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função dada. A função que nos deram é
y=\cos\!\bigl(x^{2}+9\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável independente é x.
  • A função é uma composição: uma função externa \cos(\cdot) aplicada à função interna x^{2}+9.
  • Não há mais dados numéricos ou condições a considerar.

Passo 2

Identificar a estratégia: como temos uma função composta, vamos usar a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia de forma bem direta e prática.
Regra da cadeia (forma verbal): se uma função y é dada por y=f\bigl(g(x)\bigr), então a derivada de y em relação a x é o produto da derivada da função externa avaliada na função interna pela derivada da função interna. Em símbolos:
\frac{dy}{dx}=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Aqui:
  • f é a função externa (no nosso caso f(u)=\cos u);
  • g é a função interna (no nosso caso g(x)=x^{2}+9);
  • f'(u) é a derivada de f em relação a u;
  • g'(x) é a derivada de g em relação a x.

Passo 3

Derivada da função externa: considere f(u)=\cos u com u sendo uma variável independente. A derivada de \cos u em relação a u é
\frac{df}{du}=-\sin u.
Explicação curta: a função cosseno tem derivada negativa do seno. Isso é um fato padrão das regras de derivação de funções trigonométricas.

Passo 4

Derivada da função interna: temos g(x)=x^{2}+9. Usamos a regra do poder (power rule) e a regra de derivada de constante:
  • Regra do poder: se h(x)=x^{n}, então h'(x)=n x^{n-1}. Aplicando com n=2 dá a derivada de x^{2} igual a 2x.
  • A derivada de uma constante (como 9) é 0.
Portanto
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+9\bigr)=2x+0=2x.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia juntando o resultado do Passo 3 e do Passo 4. Com u=g(x)=x^{2}+9 temos
\frac{dy}{dx}=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)=\bigl(-\sin u\bigr)\cdot\bigl(2x\bigr).
Substituindo u=x^{2}+9 obtemos a expressão para a derivada (antes de simplificar):
\frac{dy}{dx}=\bigl(-\sin(x^{2}+9)\bigr)\cdot(2x).

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=-2x\sin\!\bigl(x^{2}+9\bigr)

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