Considere a função f(x)=e^{x^{2}+2 a x} onde a é uma constante. O valor de a para que f^{\prime}(0)=4 é:
Escolha uma opção:
◯ a. -1
◯ b. 0
◯ c. 2
◯ d. -2
◯ e. 1

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^{x^{2}+2 a x}, onde a é uma constante, e pede o valor de a tal que f^{\prime}(0)=4. Informações relevantes:
  • Função: f(x)=e^{x^{2}+2 a x}.
  • Condição: f^{\prime}(0)=4.
    A tarefa é calcular f'(x), avaliá-la em x=0 e achar a que satisfaça a condição.

Passo 2

Explicação da regra que vou usar (cadeia aplicada à exponencial), bem devagar e com exemplo: se f(x)=e^{u(x)}, onde u(x) é alguma função de x, então a derivada é dada por
f'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}.
Isto vem da regra da cadeia: derivar a função externa e^{(\cdot)} devolve e^{u(x)} e multiplica pelo derivado da função interna u'(x). Exemplo simples: se g(x)=e^{3x}, então g'(x)=3e^{3x} porque a derivada de 3x é 3.

Passo 3

Identificar a função interna u(x) no nosso caso:
u(x)=x^{2}+2 a x.
Agora calculo a derivada de u(x). Derivando termo a termo:
  • A derivada de x^{2} é 2x.
  • A derivada de 2 a x em relação a x é 2a, pois a é constante e \dfrac{d}{dx}(c x)=c.
    Logo,
u'(x)=2x+2a.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para f(x)=e^{u(x)}:
f'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}=(2x+2a)\,e^{x^{2}+2 a x}.
Opcionalmente fatorando 2:
f'(x)=2(x+a)\,e^{x^{2}+2 a x}.

Passo 5

Avalio f'(x) em x=0:
f'(0)=(2\cdot 0+2a)\,e^{0^{2}+2a\cdot 0}=(2a)\,e^{0}.
Como e^{0}=1, isso simplifica para
f'(0)=2a.

Passo 6

Usar a condição dada f'(0)=4. Então
2a=4.
Resolvendo para a, divido ambos os lados por 2:
a=2.

Passo 7

Interpretação final: o único valor de a que faz f'(0)=4 é a=2. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à opção (c).

Resposta

c. 2

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