Sabendo que a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é derivável em x=1, sendo f(1)=1 e f^{\prime}(1)=3, então podemos afirmar que \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(f(x))^{2}-1}{x-1} é:
Escolha uma opção:
◯ a. -3
◯ b. 6
◯ c. 0
◯ d. -6
◯ e. 3

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é derivável em x=1.
  • f(1)=1.
  • f'(1)=3.
O que o exercício pede:
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(f(x))^{2}-1}{x-1}.

Passo 2

Vamos olhar a expressão do limite e fazer uma fatoração algébrica útil. Note que
(f(x))^{2}-1=(f(x)-1)(f(x)+1).
Portanto
\frac{(f(x))^{2}-1}{x-1}=\frac{f(x)-1}{x-1}\cdot\bigl(f(x)+1\bigr).

Passo 3

Agora explico um conceito importante e como aplicá-lo aqui: a definição de derivada em x=1 é
f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}.
Como o enunciado nos deu f(1)=1, temos
\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-1}{x-1}=f'(1)=3.
Isto é, a primeira parte do produto do Passo 2 tende a 3.

Passo 4

Outro fato útil: diferenciabilidade implica continuidade. Como f é derivável em 1, então f é contínua em 1. Logo
\lim_{x\to 1}\bigl(f(x)+1\bigr)=f(1)+1=1+1=2.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do limite para produto (quando as duas partes têm limite finito):
\lim_{x\to 1}\frac{(f(x))^{2}-1}{x-1} =\left(\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-1}{x-1}\right)\cdot\left(\lim_{x\to 1}\bigl(f(x)+1\bigr)\right) =3\cdot 2=6.

Resposta

b. 6

Exercícios relacionados