\int_{-3}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\int_{-3}^{3}\int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}}\sin\!\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \sin\!\left(x^{2}+y^{2}\right).
  • Os limites em x vão de -3 a 3.
  • Para cada x, y vai de 0 até \sqrt{9-x^{2}}.
  • A região de integração é portanto o semicírculo superior de raio 3, isto é
\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9,\; y\ge 0\}.

Passo 2

Por que trocar para coordenadas polares? A integranda depende de x^{2}+y^{2}, que é exatamente r^{2} em coordenadas polares. Isso sugere que a integral fica muito mais simples em polares porque a função passa a depender só de r. Lembrete rápido sobre a mudança:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
e o elemento de área transforma como
dx\,dy = r\,dr\,d\theta,
onde r\ge 0 e \theta é o ângulo polar.

Passo 3

Determinar os novos limites em (r,\theta). A região é o semicírculo superior de raio 3:
  • r varia de 0 até 3.
  • \theta cobre o semicírculo superior, ou seja de 0 até \pi.
    Portanto os limites em polares são 0\le r\le 3 e 0\le\theta\le\pi.

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas polares. Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e dx\,dy=r\,dr\,d\theta, obtemos
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3}\sin\!\left(r^{2}\right)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r. Use a substituição u=r^{2}. Então
u=r^{2},\qquad du=2r\,dr\quad\Rightarrow\quad r\,dr=\tfrac{1}{2}\,du.
Quando r=0 temos u=0 e quando r=3 temos u=9. Assim
\int_{0}^{3}\sin\!\left(r^{2}\right)\,r\,dr = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{9}\sin u\,du.
A integral de \sin u é -\cos u, portanto
\tfrac{1}{2}\int_{0}^{9}\sin u\,du = \tfrac{1}{2}\bigl[-\cos u\bigr]_{0}^{9} = \tfrac{1}{2}\bigl(-\cos 9 + \cos 0\bigr) = \tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos 9\bigr).

Passo 6

Agora integrar em \theta. A integral externa é simples:
\int_{0}^{\pi} d\theta = \pi.
Multiplicando pelo resultado da integral em r obtemos o valor final da integral dupla:
\pi\cdot \tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos 9\bigr)=\tfrac{\pi}{2}\bigl(1-\cos 9\bigr).

Resposta

\tfrac{\pi}{2}\bigl(1-\cos 9\bigr)

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