Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Os limites em
vão de a . - Para cada
, vai de até . - A região de integração é portanto o semicírculo superior de raio
, isto é
Passo 2
Por que trocar para coordenadas polares? A integranda depende de
, que é exatamente
em coordenadas polares. Isso sugere que a integral fica muito mais simples em polares porque a função passa a depender só de
. Lembrete rápido sobre a mudança:
e o elemento de área transforma como
onde
e
é o ângulo polar.
Passo 3
Determinar os novos limites em
. A região é o semicírculo superior de raio
:
-
varia de até . -
cobre o semicírculo superior, ou seja de até .
Portanto os limites em polares sãoe .
Passo 4
Escrever a integral em coordenadas polares. Substituindo
e
, obtemos
Passo 5
Calcular a integral interna em
. Use a substituição
. Então
Quando
temos
e quando
temos
. Assim
A integral de
é
, portanto
Passo 6
Agora integrar em
. A integral externa é simples:
Multiplicando pelo resultado da integral em
obtemos o valor final da integral dupla: