Considere a função
Usando a definição de derivada, decida se
é diferenciável em
.
Passo 1
O enunciado define a função por partes
Queremos investigar se
é diferenciável em
, ou seja, se o limite
existe.
Passo 2
Lembrando que a diferenciabilidade em um ponto exige dois fatos:
-
é contínua em (já que derivada implica continuidade). - Os limites laterais
existem e são iguais.
Passo 3
Primeiro, confirmamos a continuidade em
:
e
. Logo,
é contínua em
.
Passo 4
Calculamos a derivada pela esquerda (caso
, usamos a parte
):
Passo 5
Calculamos a derivada pela direita (caso
, usamos a parte
):
Resposta
Os limites laterais da derivada em
são diferentes (
), logo
não é diferenciável em
.