Considere a função
f(x)= x^2+1, & x<1 x+1, & x >= 1
Usando a definição de derivada, decida se f é diferenciável em x=1.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= x^2+1, & x<1, x+1, & x>=1
Queremos investigar se f é diferenciável em x=1, ou seja, se o limite
limhto0f(1+h)-f(1)h
existe.

Passo 2

Lembrando que a diferenciabilidade em um ponto exige dois fatos:
  1. f é contínua em x=1 (já que derivada implica continuidade).
  2. Os limites laterais
limhto0^-f(1+h)-f(1)h e limhto0^+f(1+h)-f(1)h
existem e são iguais.

Passo 3

Primeiro, confirmamos a continuidade em x=1:
f(1^-)=limxto1^-(x^2+1)=1^2+1=2, f(1^+)=limxto1^+(x+1)=1+1=2,
e f(1)=1+1=2. Logo, f é contínua em x=1.

Passo 4

Calculamos a derivada pela esquerda (caso hto0^-, usamos a parte x^2+1):
limhto0^-f(1+h)-f(1)h =limhto0^-l((1+h)^2+1r)-2h =limhto0^-1+2h+h^2+1-2h =limhto0^-2h+h^2h =limhto0^-(2+h) =2

Passo 5

Calculamos a derivada pela direita (caso hto0^+, usamos a parte x+1):
limhto0^+f(1+h)-f(1)h =limhto0^+l((1+h)+1r)-2h =limhto0^+2+h-2h =limhto0^+hh =1

Resposta

Os limites laterais da derivada em x=1 são diferentes ( 2neq1), logo f não é diferenciável em x=1.

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