Seja
f(x)= 2-x, & x <= 1 x^2-2 x+2, & x>1
f é diferenciável em x=1 ?

Passo 1

O enunciado define a função
Pergunta se . Para isso, precisamos verificar (i) continuidade em e (ii) igualdade das derivadas laterais em .

Passo 2

Verificamos a continuidade em x=1 calculando
limxto1^-f(x), f(1) e limxto1^+f(x).

Passo 3

Para x<=1 temos f(x)=2-x, logo
limxto1^-f(x)=2-1=1
Como f(1)=2-1=1 e para x>1 f(x)=x^2-2x+2 implica
limxto1^+f(x)=1^2-2cdot1+2=1,
concluímos que f é contínua em x=1.

Passo 4

Calculamos a derivada à esquerda em x=1. Para x<1,
f(x)=2-xLongrightarrow f'-(1)=ddx(2-x)|x=1=-1

Passo 5

Calculamos a derivada à direita em x=1. Para x>1,
f(x)=x^2-2x+2Longrightarrow f'+(1)=ddx(x^2-2x+2)|x=1=2cdot1-2=0
Como f'-(1)=-1neq0=f'+(1), as derivadas laterais não coincidem.

Resposta

Não. f não é diferenciável em x=1 porque as derivadas laterais são f'-(1)=-1 e f'+(1)=0, valores diferentes.

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