) Identifique e resolva as equações diferenciais. SEM USAR TRANSFORMADA DE LAPLACE (Valor=2,0 cada)
Passo 1
Então, a gente tem a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
. Isso é uma EDO linear não homogênea. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral, que é a soma da solução complementar (da parte homogênea) e de uma solução particular (para o lado não homogêneo).
Passo 2
Primeiro, vamos achar a solução complementar
, que vem da equação homogênea associada. A equação característica é:
Passo 3
Resolvendo, dividimos tudo por 2:
, o discriminante é
. Então temos uma raiz dupla
.
Passo 4
Como é raiz dupla, a solução complementar fica na forma
.
Passo 5
Agora, para a solução particular
, a gente usa o método dos coeficientes indeterminados. O lado direito
é um polinômio de grau 1, e como 0 (de e^{0x}) não é raiz da característica, podemos chutar:
.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas:
Substituindo na equação original:
Passo 7
Isso vira
Passo 8
Para
Constantes:
Substituindo
Passo 9
Beleza! Então a solução particular é
. Agora é só juntar tudo: a solução geral é
.