1^ a ) Identifique e resolva as equações diferenciais. SEM USAR TRANSFORMADA DE LAPLACE (Valor=2,0 cada)
2 y^prime prime-20 y^prime+50 y=60 x+6

Passo 1

Então, a gente tem a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes: 2y'' - 20y' + 50y = 60x + 6. Isso é uma EDO linear não homogênea. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral, que é a soma da solução complementar (da parte homogênea) e de uma solução particular (para o lado não homogêneo).

Passo 2

Primeiro, vamos achar a solução complementar yc, que vem da equação homogênea associada. A equação característica é:

Passo 3

2r^2 - 20r + 50 = 0
Resolvendo, dividimos tudo por 2: r^2 - 10r + 25 = 0, o discriminante é Δ = (-10)^2 - 4·1·25 = 100 - 100 = 0. Então temos uma raiz dupla r = 5.

Passo 4

Como é raiz dupla, a solução complementar fica na forma yc = C1 e^5x + C2 x e^5x.

Passo 5

Agora, para a solução particular yp, a gente usa o método dos coeficientes indeterminados. O lado direito 60x + 6 é um polinômio de grau 1, e como 0 (de e^{0x}) não é raiz da característica, podemos chutar: yp = Ax + B.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas:
yp' = A
yp'' = 0
Substituindo na equação original:

Passo 7

2·0 - 20·A + 50·(Ax + B) = 60x + 6
Isso vira

Passo 8

50A·x + (-20A + 50B) = 60x + 6. Agora igualamos coeficientes:
Para x: 50A = 60 implies A = 6/5
Constantes: -20A + 50B = 6
Substituindo A = 6/5: -20·6/5 + 50B = 6 implies -24 + 50B = 6 implies 50B = 30 implies B = 3/5

Passo 9

Beleza! Então a solução particular é yp = tfrac65x + tfrac35. Agora é só juntar tudo: a solução geral é y = yc + yp.

Resposta

y(x) = C1 e^5x + C2 x e^5x + tfrac65x + tfrac35

Exercícios relacionados