Exercício 2.6.5 Determine os intervalos onde cada função composta f og seja contínua.
f(x)=raizx^2-1raiz4-x e g(x)=|x|.

Passo 1

O enunciado pede para achar onde a função composta fcirc g é contínua, sendo
f(x)=raizx^2-1raiz4-x
e
g(x)=|x|
O conteúdo envolvido é domínio de funções com raízes e razão, além de composição de funções contínuas.

Passo 2

Determinar o domínio de f. Precisamos que os radicais sejam bem definidos e o denominador não anule:
  1. raizx^2-1 exige
x^2-1>=0Longrightarrow |x|>=1Longrightarrow xin(-infty,-1]cup[1,infty)
  1. raiz4-x exige
4-x>0Longrightarrow x<4
Combinando, o domínio de f é
,xmid |x|>=1 e x<4 =(-infty,-1]cup[1,4)

Passo 3

Verificar g. A função g(x)=|x| é definida em todo R e contínua em R.

Passo 4

Para que fcirc g esteja definido, precisamos de g(x) no domínio de f. Logo
g(x)=|x|deve pertencer a(-infty,-1]cup[1,4)
Mas |x|>=0, então |x|in(-infty,-1] nunca ocorre. Restam
|x|>=1 e |x|<4
Isto dá
1<=|x|<4 Long<=ftrightarrow xin(-4,-1]cup[1,4)

Passo 5

Como g é contínua em R e f é contínua em seu domínio (-infty,-1]cup[1,4), a composição fcirc g é contínua em todo ponto de seu domínio (-4,-1]cup[1,4).

Resposta

A função fcirc g é contínua em
(-4,-1]cup[1,4)

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