Considere a função f(x)=x^3-6 x^2+11 x-(6.5).
Usando o método escolhido, realize duas iterações completas para aproximar a maior raiz positiva de f(x)=0 e apresente os cálculos detalhados.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente aproximar a maior raiz positiva da função
f(x) = x^3 ;-; 6x^2 ;+; 11x ;-; 6.5
usando um método iterativo (a gente vai usar o método de Newton–Raphson). Precisamos:
  1. Conhecer a fórmula do método de Newton, que é xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
  2. Calcular a derivada de f'(x) = 3x^2 - 12x + 11 :
  3. Escolher um chute inicial razoável (como a maior raiz de fica em torno de 3, a gente começa em ).

Passo 2

Vamos aplicar o método de Newton passo a passo:
  1. Para cada iteração, a gente precisa calcular xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) e .
  2. Depois usar
Isso relaxa a gente do cálculo exato da raiz — em vez disso, convergimos pra ela de modo iterativo.

Passo 3

Iteração 1 (com f(3) = 3^3 - 6cdot3^2 + 11cdot3 - 6.5 = 27 - 54 + 33 - 6.5 = -0.5 ):
  1. Calcula f'(3) = 3cdot3^2 - 12cdot3 + 11 = 27 - 36 + 11 = 2 : x1 = 3 ;-;-0.52 = 3 + 0.25 = 3.25
  2. Calcula :
  3. Atualiza :

Passo 4

Iteração 2 (com f(3.25) = (3.25)^3 - 6(3.25)^2 + 11(3.25) - 6.5 = 34.328125 - 63.375 + 35.75 - 6.5 = 0.203125 ):
  1. Calcula f'(3.25) = 3(3.25)^2 - 12cdot3.25 + 11 = 31.6875 - 39 + 11 = 3.6875 : x2 = 3.25 ;-;0.2031253.6875 approx 3.25 - 0.055085 = 3.194915
  2. Calcula :
  3. Atualiza :

Resposta

Aproximação da maior raiz após duas iterações pelo método de Newton–Raphson:
boxedx2 approx 3.1949

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