Descreva o método da bissecção para encontrar raízes de equações não lineares. Inclua em sua resposta:
A análise da convergência do método.

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente descrever o método da bissecção (ou “bisection”) pra achar raízes de equações não lineares e ainda incluir a análise de convergência. O conteúdo principal aqui é cálculo numérico: a gente vai precisar do Teorema do Valor Intermediário (continuidade e mudança de sinal) e entender como se gera e afunila o intervalo até chegar na raiz com precisão.

Passo 2

Primeiro, o fundamento teórico. Suponha que você tem uma função contínua f(a)cdot f(b)<0 num intervalo e que
Isso significa que em algum ponto a função cruza o zero (Teorema do Valor Intermediário). O método da bissecção explora isso repetidamente: a cada passo você divide o intervalo ao meio e verifica em qual metade permanece a mudança de sinal.

Passo 3

Agora o algoritmo em si, passo a passo:
  1. Calcule o ponto médio c = a+b2
  2. Cheque o sinal de :
    • Se , achamos a raiz exatamente.
    • Se , então a raiz está em ; definimos .
    • Caso contrário (ou seja, ), a raiz está em ; definimos .
  3. Repita até que o comprimento do intervalo seja pequeno o suficiente ou até fique abaixo de uma tolerância desejada.

Passo 4

Convergência e taxa:
  • A cada iteração o comprimento do intervalo cai pela metade: |bn - an| = b0 - a02^n
  • Se |xn - x^*| <= bn - an2 = b0 - a02^,n+1 for o ponto médio na iteração , o erro em relação à raiz satisfaz
  • Isso mostra que o método sempre converte (desde que a função seja contínua e haja mudança de sinal) e a convergência é linear, com fator de redução do erro igual a a cada iteração.

Passo 5

Recapitulando:
  • Precisamos de contínua e .
  • A cada passo a gente calcula o meio, identifica a metade com mudança de sinal, e repete.
  • O erro cai geometricamente (linear) com razão .

Resposta

O método da bissecção encontra a raiz de |xn - x^*| <= b0 - a02^,n+1 num intervalo onde dividindo-o sucessivas vezes ao meio e escolhendo a subparte que mantém a mudança de sinal. Ele sempre converge de forma linear, com erro estimado por

Exercícios relacionados