Descreva o método da bissecção para encontrar raízes de equações não lineares. Inclua em sua resposta:
A análise da convergência do método.
A análise da convergência do método.
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede pra gente descrever o método da bissecção (ou “bisection”) pra achar raízes de equações não lineares e ainda incluir a análise de convergência. O conteúdo principal aqui é cálculo numérico: a gente vai precisar do Teorema do Valor Intermediário (continuidade e mudança de sinal) e entender como se gera e afunila o intervalo até chegar na raiz com precisão.
Passo 2
Primeiro, o fundamento teórico. Suponha que você tem uma função contínua
num intervalo
e que
Isso significa que em algum ponto
a função cruza o zero (Teorema do Valor Intermediário). O método da bissecção explora isso repetidamente: a cada passo você divide o intervalo ao meio e verifica em qual metade permanece a mudança de sinal.
Passo 3
Agora o algoritmo em si, passo a passo:
- Calcule o ponto médio
- Cheque o sinal de
: - Se
, achamos a raiz exatamente. - Se
, então a raiz está em ; definimos . - Caso contrário (ou seja,
), a raiz está em ; definimos .
- Se
- Repita até que o comprimento do intervalo
seja pequeno o suficiente ou até fique abaixo de uma tolerância desejada.
Passo 4
Convergência e taxa:
- A cada iteração o comprimento do intervalo cai pela metade:
- Se
for o ponto médio na iteração , o erro em relação à raiz satisfaz - Isso mostra que o método sempre converte (desde que a função seja contínua e haja mudança de sinal) e a convergência é linear, com fator de redução do erro igual a
a cada iteração.
Passo 5
Recapitulando:
- Precisamos de
contínua e . - A cada passo a gente calcula o meio, identifica a metade com mudança de sinal, e repete.
- O erro cai geometricamente (linear) com razão
.
Resposta
O método da bissecção encontra a raiz de
num intervalo
onde
dividindo-o sucessivas vezes ao meio e escolhendo a subparte que mantém a mudança de sinal. Ele sempre converge de forma linear, com erro estimado por