Considere a função f(x)=x^3-6 x^2+11 x-(6.5).
Localize a maior raiz positiva da equação em um intervalo no qual essa raiz esteja isolada.

Passo 1

Beleza, mano! A gente tem a função

e precisa “isolar” a maior raiz positiva num intervalo em que só ela apareça.
Conteúdo que vamos usar:
  • As funções polinomiais são contínuas.
  • Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário): se é contínua e , então existe pelo menos uma raiz em .
  • Avaliação direta de em pontos pra achar onde muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, a gente testa valores inteiros pra achar um intervalo onde e tenham sinais opostos:
  • (negativo)
  • (ainda negativo)
  • (negativo)
  • (negativo)
  • (positivo)
Como e , pelo Teorema de Bolzano sabemos que existe pelo menos uma raiz em .

Passo 3

Agora vamos afunilar esse intervalo dividindo em pedaços menores até “sentir” bem onde a raiz está. Testando em décimos:

  • = (negativo)

  • = (positivo)
Como e , temos uma mudança de sinal em , logo há uma raiz ali dentro.

Resposta

A maior raiz positiva de boxed[,3.1,;3.2,] está isolada no intervalo

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