Considere a função f(x)=x^2x^2+4.
Encontre os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima e onde é côncavo pi baixo, caso existam, e seus pontos de inflexão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2}+4} $ para descobrir onde o gráfico dela é côncavo para cima ou para baixo e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas, principalmente a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. Para isso, usamos a regra do quociente, que é útil quando temos uma divisão de duas funções. A regra diz que:
f(x)
Aqui, $ g(x) = x^{2} $ e $ h(x) = x^{2} + 4 $. Calculando as derivadas:
f'(x) = g'(x)h(x) - g(x)h'(x)[h(x)]^2
Aplicando na fórmula:
g(x) = x^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, $ f’’(x) $, que vai nos ajudar a determinar a concavidade. Para isso, derivamos $ f’(x) $ novamente. Usamos a regra do quociente mais uma vez:
f''(x)
Simplificando o numerador:
f'(x)
Então,
f''(x) = (8)(x^2 + 4)^2 - 8x cdot 2(x^2 + 4)(2x)(x^2 + 4)^4

Passo 4

Para encontrar onde a função é côncava para cima ou para baixo, vamos analisar o sinal de $ f’’(x) $.
  • Côncava para cima: $ f’’(x) > 0 $
  • Côncava para baixo: $ f’’(x) < 0 $
Primeiro, precisamos resolver $ f’’(x) = 0 $:
f''(x)
Vamos fazer uma substituição: seja $ y = x^{2} $, então:
f''(x) > 0
Resolvendo essa equação quadrática:
f''(x) < 0
Como $ y = x^{2} $ deve ser positivo, apenas a solução positiva faz sentido:
f''(x) = 0

Passo 5

Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos ($ x \approx -0,46 $ e $ x \approx 0,46 $) para ver onde $ f’’(x) $ é positiva ou negativa.
  • Para $ x < -0,46 $: Plugando um valor, por exemplo $ x = -1 $, vemos que $ f’’(-1) < 0 $. Então, é côncava para baixo.
  • Para $ -0,46 < x < 0,46 $: Pegando $ x = 0 $, $ f’’(0) = \frac{128}{256} = 0,5 > 0 $. Então, é côncava para cima.
  • Para $ x > 0,46 $: Pegando $ x = 1 $, $ f’’(1) < 0 $. Então, é côncava para baixo.
Os pontos onde a concavidade muda são $ x \approx -0,46 $ e $ x \approx 0,46 $, que são pontos de inflexão.

Resposta

O gráfico de $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2}+4} $ é côncavo para baixo nos intervalos $ (-\infty, -0,46) $ e $ (0,46, +\infty) $, e côncavo para cima no intervalo $ (-0,46, 0,46) $. Além disso, os pontos de inflexão estão aproximadamente em $ x = -0,46 $ e $ x = 0,46 $.

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