Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores específicos das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dada:
Calculando os valores:
Então, a equação simplificada fica:
Passo 3
Agora, para resolver essa equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, vamos encontrar a equação característica associada. A equação característica é obtida substituindo $ y = e^{rt} $ na equação diferencial:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática $ r^2 + r + 64 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 1 $, e $ c = 64 $. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas.
Passo 5
As raízes complexas são dadas por:
Podemos escrever isso como:
Isso indica que a solução geral da equação diferencial é do tipo:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, aplicamos $ y(0) = 2 $:
Então, $ C_1 = 2 $.
Passo 7
Em seguida, vamos derivar a solução geral para aplicar $ y’(0) = -2 $:
Derivando em relação a $ t $:
$$
y’(t) = -\frac{1}{2} e^{-\frac{1}{2}t} \left( 2 \cos\left(\frac{\sqrt{255}}{2} t\right) + C_2 \sin\left(\frac{\sqrt{255}}{2} t\right) \right) \
- e^{-\frac{1}{2}t} \left( -2 \cdot \frac{\sqrt{255}}{2} \sin\left(\frac{\sqrt{255}}{2} t\right) + C_2 \cdot \frac{\sqrt{255}}{2} \cos\left(\frac{\sqrt{255}}{2} t\right) \right)
y’(0) = -\frac{1}{2} \times 2 + \frac{\sqrt{255}}{2} C_2 = -1 + \frac{\sqrt{255}}{2} C_2 = -2
-1 + \frac{\sqrt{255}}{2} C_2 = -2 \
\frac{\sqrt{255}}{2} C_2 = -1 \
C_2 = \frac{-2}{\sqrt{255}}
\frac{\sqrt{255}}{2} C_2 = -1 \
C_2 = \frac{-2}{\sqrt{255}}
$$
Passo 8
Agora, temos todos os valores das constantes. Substituindo $ C_1 $ e $ C_2 $ na solução geral:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: