1- Considere a função:
f(x)=-2 x^{3}+3 x^{2}+36 x+5
a) Calcule a primeira derivada da função.
b) Encontre os pontos críticos (zerando a primeira derivada).
c) Calcule a segunda derivada.
d) Classifique os pontos críticos em máximo ou mínimo local, usando o teste da segunda derivada.
e) Encontre o ponto P(x, y) da inflexão.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = -2x^{3} + 3x^{2} + 36x + 5
e pede:
a) f'(x).
b) pontos críticos (soluções de f'(x)=0).
c) f''(x).
d) classificar cada ponto crítico pelo teste da segunda derivada.
e) ponto de inflexão, onde f''(x)=0, e sua ordenada.

Passo 2

Para achar a primeira derivada aplicamos as regras de potência termo a termo:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-2x^{3}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr) + \frac{d}{dx}(36x) + \frac{d}{dx}(5).
Isso dá
f'(x) = -6x^{2} + 6x + 36.

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem
f'(x)= -6x^{2} +6x +36 =0.
Dividindo tudo por -6:
x^{2} - x - 6 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara,
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2},
logo
x = 3 \quad\text{ou}\quad x = -2.

Passo 4

A segunda derivada é a derivada de f'(x):
f''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-6x^{2} +6x +36\bigr) = -12x + 6.

Passo 5

Aplicamos o teste da segunda derivada em cada ponto crítico:
  • Em x=3:
f''(3) = -12\cdot 3 + 6 = -36 + 6 = -30 < 0,
logo f tem um máximo local em x=3.
  • Em x=-2:
f''(-2) = -12\cdot(-2) + 6 = 24 + 6 = 30 > 0,
logo f tem um mínimo local em x=-2.

Passo 6

O ponto de inflexão ocorre onde f''(x)=0:
-12x + 6 = 0 \implies x = \tfrac{6}{12} = \tfrac12.
A ordenada é
y = f\bigl(\tfrac12\bigr) = -2\bigl(\tfrac12\bigr)^{3} +3\bigl(\tfrac12\bigr)^{2} +36\bigl(\tfrac12\bigr) +5.
Calculemos:
-2\cdot\tfrac{1}{8} +3\cdot\tfrac{1}{4} +18 +5 = -\tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{4} + 23 = \tfrac{2}{4} + 23 = \tfrac12 + 23 = \tfrac{47}{2}.
Então o ponto de inflexão é
\bigl(\tfrac12,\tfrac{47}{2}\bigr).

Resposta

a) f'(x) = -6x^{2} + 6x + 36.
b) Pontos críticos em x = 3 e x = -2.
c) f''(x) = -12x + 6.
d) Em x=3 há máximo local; em x=-2 há mínimo local.
e) Ponto de inflexão: P\bigl(\tfrac12,\tfrac{47}{2}\bigr).

Exercícios relacionados