3- Dada a função:
f(x)=-x^{4}+4 x^{3}
Determine os pontos de máximo e mínimo locais.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=-x^{4}+4x^{3}
e pede os pontos de máximo e mínimo locais. O conteúdo da matéria aqui é cálculo de derivadas para encontrar pontos críticos e usar o teste da primeira derivada para classificar extremos.

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira \,f'(x), termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-x^{4}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}\bigr) =-4x^{3}+12x^{2}.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad -4x^{3}+12x^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad -4x^{2}(x-3)=0.
Isso dá as soluções
x=0 \quad\text{(raiz dupla)},\quad x=3.

Passo 4

Agora, usamos o teste da primeira derivada para ver onde f cresce ou decresce e classificar extremos. Note que
f'(x)=-4x^{2}(x-3)
e x^{2}\ge0 para todo x. Assim o sinal de f'(x) é o mesmo de -1\cdot(x-3), ou seja, de (3-x).
  • Se x<3, então 3-x>0 e f'(x)>0: f é crescente para x<3.
  • Se x>3, então 3-x<0 e f'(x)<0: f é decrescente para x>3.
    Em particular, em x=0 temos f' muda de positivo para positivo, logo não há extremo em x=0. Em x=3 f' muda de positivo para negativo, caracterizando um máximo local.

Passo 5

Calculamos o valor de f em x=3:
f(3)=-3^{4}+4\cdot3^{3}=-81+108=27.

Resposta

O único ponto de máximo local é \bigl(3,27\bigr).
Não há ponto de mínimo local.

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