3- Dada a função:
Determine os pontos de máximo e mínimo locais.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os pontos de máximo e mínimo locais. O conteúdo da matéria aqui é cálculo de derivadas para encontrar pontos críticos e usar o teste da primeira derivada para classificar extremos.
Passo 2
Vamos calcular a derivada primeira
, termo a termo:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos
Isso dá as soluções
Passo 4
Agora, usamos o teste da primeira derivada para ver onde
cresce ou decresce e classificar extremos. Note que
e
para todo
. Assim o sinal de
é o mesmo de
, ou seja, de
.
- Se
, então e : é crescente para . - Se
, então e : é decrescente para .
Em particular, emtemos muda de positivo para positivo, logo não há extremo em . Em muda de positivo para negativo, caracterizando um máximo local.
Passo 5
Calculamos o valor de
em
:
Resposta
O único ponto de máximo local é
.
Não há ponto de mínimo local.
Não há ponto de mínimo local.