(Extra) Seja f \in L^{2}(-\pi, \pi). Resolva os itens abaixo:
(a) ( 10 pts ) Para N \in\{1,2, \cdots\} qualquer, mostre a validade da igualdade
\int_{-\pi}^{\pi}\left|f(t)-\sum_{|k| \leq N} \hat{f}(k) e^{i k t}\right|^{2} d t=\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2} d t-2 \pi \sum_{|k| \leq N}|\hat{f}(k)|^{2}
(b) ( 10 pts) Utilize a igualdade anterior, para justificar a validade da equivalência
O enunciado trata de projeção ortogonal em L^{2}(-\pi,\pi) e da fórmula de Parseval para séries de Fourier. Temos
– uma função f\in L^{2}(-\pi,\pi),
– os coeficientes de Fourier definidos por \displaystyle \hat f(k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-ikt}\,dt,
– a soma parcial
P_{N}f(t)=\sum_{|k|\le N}\hat f(k)e^{ikt}.
Em (a) vamos usar a ortonormalidade de \{e^{ikt}\}_{k\in\mathbb Z} em L^{2}(-\pi,\pi) para expandir \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\bigl|f-P_{N}f\bigr|^{2}.
Em (b) mostraremos que a convergência em norma L^{2} da série de Fourier é equivalente à identidade de Parseval.
Invertendo o raciocínio, se esse somatório converge a esse valor, então \displaystyle \int|f-P_{N}f|^{2}\to0.
Usando a definição de \hat f(k) com o fator 1/(2\pi), obtemos exatamente