1. (Extra) Seja f \in L^{2}(-\pi, \pi). Resolva os itens abaixo:
    (a) ( 10 pts ) Para N \in\{1,2, \cdots\} qualquer, mostre a validade da igualdade
\int_{-\pi}^{\pi}\left|f(t)-\sum_{|k| \leq N} \hat{f}(k) e^{i k t}\right|^{2} d t=\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2} d t-2 \pi \sum_{|k| \leq N}|\hat{f}(k)|^{2}
(b) ( 10 pts) Utilize a igualdade anterior, para justificar a validade da equivalência
\begin{gathered} \lim _{N \rightarrow \infty} \int_{-\pi}^{\pi}\left|f(t)-\sum_{|k| \leq N} \hat{f}(k) e^{i k t}\right|^{2} d t=0 \\\ \mathbb{1} \\\ \sum_{k \in \mathbb{Z}}|\hat{f}(k)|^{2}=\frac{1}{4 \pi^{2}} \int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2} \end{gathered}𝟙

Passo 1

O enunciado trata de projeção ortogonal em L^{2}(-\pi,\pi) e da fórmula de Parseval para séries de Fourier. Temos
– uma função f\in L^{2}(-\pi,\pi),
– os coeficientes de Fourier definidos por \displaystyle \hat f(k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-ikt}\,dt,
– a soma parcial
P_{N}f(t)=\sum_{|k|\le N}\hat f(k)e^{ikt}.
Em (a) vamos usar a ortonormalidade de \{e^{ikt}\}_{k\in\mathbb Z} em L^{2}(-\pi,\pi) para expandir
\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\bigl|f-P_{N}f\bigr|^{2}.
Em (b) mostraremos que a convergência em norma L^{2} da série de Fourier é equivalente à identidade de Parseval.

Passo 2

Primeiro expandimos o quadrado da norma:
\int_{-\pi}^{\pi}\bigl|f(t)-P_{N}f(t)\bigr|^{2}dt =\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2}dt +\int_{-\pi}^{\pi}\bigl|P_{N}f(t)\bigr|^{2}dt -2\,\Re\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,\overline{P_{N}f(t)}\,dt.

Passo 3

Usamos ortonormalidade para calcular
\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\bigl|P_{N}f(t)\bigr|^{2}dt.
Como
P_{N}f(t) =\sum_{|k|\le N}\hat f(k)e^{ikt},
temos
\int_{-\pi}^{\pi}\bigl|P_{N}f(t)\bigr|^{2}dt =\sum_{|k|\le N}\sum_{|\ell|\le N}\hat f(k)\,\overline{\hat f(\ell)} \int_{-\pi}^{\pi}e^{i(k-\ell)t}dt =2\pi\sum_{|k|\le N}\bigl|\hat f(k)\bigr|^{2}.

Passo 4

Agora o termo cruzado:
\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,\overline{P_{N}f(t)}\,dt =\sum_{|k|\le N}\overline{\hat f(k)}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-ikt}dt =\sum_{|k|\le N}\overline{\hat f(k)}\,(2\pi\hat f(k)) =2\pi\sum_{|k|\le N}\bigl|\hat f(k)\bigr|^{2}.
Como isso é real,
\Re\int f\,\overline{P_{N}f}=2\pi\sum_{|k|\le N}|\hat f(k)|^{2}.

Passo 5

Substituindo nos termos de
\displaystyle \int|f-P_{N}f|^{2} obtemos:
\int_{-\pi}^{\pi}\bigl|f(t)-P_{N}f(t)\bigr|^{2}dt =\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2}dt +2\pi\sum_{|k|\le N}|\hat f(k)|^{2} -2\Bigl(2\pi\sum_{|k|\le N}|\hat f(k)|^{2}\Bigr),
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\boxed{ \int_{-\pi}^{\pi}\bigl|f(t)-\sum_{|k|\le N}\hat f(k)e^{ikt}\bigr|^{2}dt =\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2}dt -2\pi\sum_{|k|\le N}|\hat f(k)|^{2}. }

Passo 6

Reescrevendo a identidade de (a):
2\pi\sum_{|k|\le N}|\hat f(k)|^{2} =\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2}dt -\int_{-\pi}^{\pi}\bigl|f(t)-P_{N}f(t)\bigr|^{2}dt.
Se \displaystyle \lim_{N\to\infty}\int|f-P_{N}f|^{2}=0, então passando ao limite
2\pi\sum_{k\in\mathbb Z}|\hat f(k)|^{2} =\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2}dt.
Invertendo o raciocínio, se esse somatório converge a esse valor, então
\displaystyle \int|f-P_{N}f|^{2}\to0.
Usando a definição de \hat f(k) com o fator 1/(2\pi), obtemos exatamente
\sum_{k\in\mathbb Z}\bigl|\hat f(k)\bigr|^{2} =\frac{1}{4\pi^{2}}\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2}\,dt.
Dessa forma, estabelecemos a equivalência pedida.

Resposta

(a)
\int_{-\pi}^{\pi}\Bigl|f(t)-\sum_{|k|\le N}\hat f(k)e^{ikt}\Bigr|^{2}dt =\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2}dt -2\pi\sum_{|k|\le N}|\hat f(k)|^{2}.
(b)
\lim_{N\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi}\Bigl|f(t)-\sum_{|k|\le N}\hat f(k)e^{ikt}\Bigr|^{2}dt=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{k\in\mathbb Z}|\hat f(k)|^{2} =\frac{1}{4\pi^{2}}\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2}dt.

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