2- Seja a função:
f(x)=x^{3}-3 x^{2}-9 x+5
Determine os pontos de máximo e mínimo locais usando o primeiro teorema, se existirem.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5
e pede os pontos de máximo e mínimo locais usando o teste da primeira derivada. Vamos precisar calcular f'(x), achar os pontos críticos ( f'(x)=0) e estudar o sinal de f' em cada intervalo para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando as regras de potência:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)-3\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)-9\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(5)
f'(x)=3x^{2}-6x-9+0
f'(x)=3x^{2}-6x-9

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo
f'(x)=3x^{2}-6x-9=0
Dividindo por 3:
x^{2}-2x-3=0
Isso fatoriza em
(x-3)(x+1)=0
Logo os pontos críticos são
x=-1\quad\text{e}\quad x=3.

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x)=3(x-3)(x+1) em cada intervalo:
Para x<-1: (x+1)<0 e (x-3)<0 \Rightarrow f'(x)>0 (função crescente).
Para -1<x<3: (x+1)>0 e (x-3)<0 \Rightarrow f'(x)<0 (função decrescente).
Para x>3: (x+1)>0 e (x-3)>0 \Rightarrow f'(x)>0 (função crescente).

Passo 5

Com o teste da primeira derivada:
– Em x=-1 há variação de crescente para decrescente \Rightarrow ponto de máximo local.
– Em x=3 há variação de decrescente para crescente \Rightarrow ponto de mínimo local.
Calculamos os valores de f nesses pontos:
f(-1)=(-1)^{3}-3(-1)^{2}-9(-1)+5=-1-3+9+5=10
f(3)=3^{3}-3\cdot3^{2}-9\cdot3+5=27-27-27+5=-22

Resposta

Ocorre máximo local em \bigl(-1,\,10\bigr) e mínimo local em \bigl(3,\,-22\bigr).

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