4- Considere a função:
f(x)=-x^{2}+4 x+5
a) Determine os pontos críticos.
b) Determine o intervalo onde f é crescente e decrescente.
c) Se f tem máximos ou mínimos locais e os pontos onde ocorrem.
d) Ponto de inflexão de f.
e) Concavidade do gráfico de f.
f) Um esboço para o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = -x^{2} + 4x + 5
e pede:
a) pontos críticos;
b) intervalos de crescimento e decrescimento;
c) extremos locais;
d) ponto de inflexão;
e) concavidade;
f) esboço do gráfico.
Para resolver vamos usar cálculo de derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira e segunda:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-x^{2} + 4x + 5\bigr) = -2x + 4,
f''(x) = \frac{d}{dx}(-2x + 4) = -2.
O ponto crítico satisfaz f'(x)=0, isto é
-2x + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.

Passo 3

Para monotonicidade, examinamos o sinal de f'(x)=-2x+4:
  • Se x<2, então -2x+4>0, logo f é crescente em (-\infty,2).
  • Se x>2, então -2x+4<0, logo f é decrescente em (2,\infty).

Passo 4

Como f passa de crescente para decrescente em x=2, f tem um máximo local em x=2.
O valor máximo é
f(2) = -(2)^{2} + 4\cdot 2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9.
Não há mínimo local porque não há mudança de decrescente para crescente.

Passo 5

Ponto de inflexão ocorre onde f''(x)=0 ou muda de sinal. Aqui f''(x)=-2 é constante e nunca muda de sinal, portanto não há ponto de inflexão.

Passo 6

Como f''(x)=-2<0 para todo x, o gráfico de f é côncavo para baixo em toda a reta.

Passo 7

Para esboçar, note:
  • Vértice (2, 9).
  • Zeros de f resolvendo -x^{2}+4x+5=0 dão x=-1 e x=5.
  • Intercepto em y é f(0)=5.
    O gráfico é uma parábola invertida, com vértice em (2,9), cruzando o eixo x em (-1,0) e (5,0).

Resposta

a) Ponto crítico: x=2.
b) Crescente em (-\infty,2); decrescente em (2,\infty).
c) Máximo local em (2,9); não há mínimo local.
d) Não há ponto de inflexão.
e) Côncava para baixo para todo x.
f) Parábola invertida com vértice em (2,9), zeros em (-1,0) e (5,0), intercepto em y igual a 5.

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