4- Considere a função:
a) Determine os pontos críticos.
b) Determine o intervalo onde
é crescente e decrescente.
c) Se
tem máximos ou mínimos locais e os pontos onde ocorrem.
d) Ponto de inflexão de
.
e) Concavidade do gráfico de
.
f) Um esboço para o gráfico de
.
b) Determine o intervalo onde
c) Se
d) Ponto de inflexão de
e) Concavidade do gráfico de
f) Um esboço para o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
a) pontos críticos;
b) intervalos de crescimento e decrescimento;
c) extremos locais;
d) ponto de inflexão;
e) concavidade;
f) esboço do gráfico.
Para resolver vamos usar cálculo de derivadas primeira e segunda.
a) pontos críticos;
b) intervalos de crescimento e decrescimento;
c) extremos locais;
d) ponto de inflexão;
e) concavidade;
f) esboço do gráfico.
Para resolver vamos usar cálculo de derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira e segunda:
O ponto crítico satisfaz
, isto é
Passo 3
Para monotonicidade, examinamos o sinal de
:
- Se
, então , logo é crescente em . - Se
, então , logo é decrescente em .
Passo 4
Como
passa de crescente para decrescente em
,
tem um máximo local em
.
O valor máximo é
O valor máximo é
Não há mínimo local porque não há mudança de decrescente para crescente.
Passo 5
Ponto de inflexão ocorre onde
ou muda de sinal. Aqui
é constante e nunca muda de sinal, portanto não há ponto de inflexão.
Passo 6
Como
para todo
, o gráfico de
é côncavo para baixo em toda a reta.
Passo 7
Para esboçar, note:
- Vértice (2, 9).
- Zeros de
resolvendo dão e . - Intercepto em
é .
O gráfico é uma parábola invertida, com vértice em, cruzando o eixo em e .
Resposta
a) Ponto crítico:
.
b) Crescente em ; decrescente em
.
c) Máximo local em ; não há mínimo local.
d) Não há ponto de inflexão.
e) Côncava para baixo para todo .
f) Parábola invertida com vértice em , zeros em
e
, intercepto em
igual a
.
b) Crescente em
c) Máximo local em
d) Não há ponto de inflexão.
e) Côncava para baixo para todo
f) Parábola invertida com vértice em