Determinar o ângulo entre os planos \pi_{1}: x+y+z-2=0 e \pi_{2}: x-y=0

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os planos
\pi_{1}:x+y+z-2=0 e \pi_{2}:x-y=0.
Para isso usamos o fato de que o ângulo \theta entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais n_{1} e n_{2}, dado por
\cos\theta = \frac{\bigl|n_{1}\cdot n_{2}\bigr|}{\|n_{1}\|\;\|n_{2}\|}.

Passo 2

Extraímos os vetores normais dos planos:
para \pi_{1}, n_{1} = (1,1,1);
para \pi_{2}, n_{2} = (1,-1,0).

Passo 3

Calculamos o produto escalar e as normas:
n_{1}\cdot n_{2} = 1\cdot1 + 1\cdot(-1) + 1\cdot0 = 0,
\|n_{1}\| = \sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}} = \sqrt{3}, \quad \|n_{2}\| = \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+0^{2}} = \sqrt{2}.

Passo 4

Substituindo na fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{|0|}{\sqrt{3}\,\sqrt{2}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \theta = 90^\circ \;\;(\tfrac{\pi}{2}\text{ rad}).

Resposta

\theta = 90^\circ ou \theta = \dfrac{\pi}{2}.

Exercícios relacionados