5- Um fazendeiro quer cercar um terreno retangular com 100 metros de cerca. Quais devem ser as dimensões (comprimento e largura) para que ele tenha área máxima?

Passo 1

O enunciado pede as dimensões de um retângulo cujo perímetro é fixo em 100 m, de modo que a área seja máxima. Isso é um problema de otimização em cálculo, onde vamos:
– Definir variáveis para comprimento e largura;
– Usar a restrição do perímetro para eliminar uma variável;
– Expressar a área como função de uma única variável;
– Calcular a derivada, achar o ponto crítico e verificar que é máximo.

Passo 2

Seja x o comprimento e y a largura do retângulo, em metros. A restrição de perímetro é
2\,(x+y)=100,
logo
y = 50 - x.

Passo 3

A área do retângulo é
A = x \, y.
Substituindo y, obtemos uma função de x só:
A(x) = x\,(50 - x) = 50x - x^2.

Passo 4

Para achar o máximo, derivamos e igualamos a zero:
A'(x) = 50 - 2x,\quad A'(x)=0\implies 50-2x=0\implies x=25.
Como
A''(x) = -2 < 0,
esse ponto é um máximo. A largura correspondente é
y = 50 - 25 = 25.

Resposta

O retângulo de área máxima é um quadrado de 25 m por 25 m.

Exercícios relacionados