5- Um fazendeiro quer cercar um terreno retangular com 100 metros de cerca. Quais devem ser as dimensões (comprimento e largura) para que ele tenha área máxima?
Passo 1
O enunciado pede as dimensões de um retângulo cujo perímetro é fixo em 100 m, de modo que a área seja máxima. Isso é um problema de otimização em cálculo, onde vamos:
– Definir variáveis para comprimento e largura;
– Usar a restrição do perímetro para eliminar uma variável;
– Expressar a área como função de uma única variável;
– Calcular a derivada, achar o ponto crítico e verificar que é máximo.
– Definir variáveis para comprimento e largura;
– Usar a restrição do perímetro para eliminar uma variável;
– Expressar a área como função de uma única variável;
– Calcular a derivada, achar o ponto crítico e verificar que é máximo.
Passo 2
Seja
o comprimento e
a largura do retângulo, em metros. A restrição de perímetro é
logo
Passo 3
A área do retângulo é
Substituindo
, obtemos uma função de
só:
Passo 4
Para achar o máximo, derivamos e igualamos a zero:
Como
esse ponto é um máximo. A largura correspondente é
Resposta
O retângulo de área máxima é um quadrado de
m por
m.