Faça um esboço dos gráficos da seguinte função, seguindo o roteiro fornecido em aula:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que fazer um esboço do gráfico da função
. Isso faz parte da matéria de Funções e Gráficos. Para resolver, vamos precisar entender sobre domínio, assíntotas, interceptos e comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
que a função pode assumir sem causar problemas, como divisões por zero. Na nossa função:
O denominador
não pode ser zero. Então,
Então, o domínio é todos os números reais exceto
.
Passo 3
Agora, vamos identificar as assíntotas da função. As assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca.
-
Assíntota Vertical: Ocorre onde o denominador é zero. No nosso caso,
. Então, temos uma assíntota vertical em . -
Assíntota Horizontal: Observando o comportamento da função quando
tende ao infinito, percebemos que se aproxima de 0. Então, a assíntota horizontal é .
Passo 4
Vamos achar os interceptos com os eixos.
- Intercepto com o eixo Y: É o ponto onde
.
Então, o intercepto com o eixo Y é
.
- Intercepto com o eixo X: É o ponto onde
. Mas, nunca é verdadeiro porque uma fração só é zero quando o numerador é zero, e aqui o numerador é sempre 1. Então, não há intercepto com o eixo X.
Passo 5
Vamos plotar alguns pontos-chave para entender melhor o gráfico.
- Para
:
Ponto:
- Para
:
Ponto:
- Para
:
Ponto:
Esses pontos ajudam a ver como a função se comporta próximo às assíntotas.
Passo 6
Com todas essas informações, vamos descrever o gráfico:
- A função tem uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em . - Cruzamos o eixo Y no ponto
. - Não há cruzes com o eixo X.
- Para
, a função é positiva e diminui à medida que aumenta. - Para
, a função é negativa e aumenta em direção a zero conforme se afasta de -1.
Resposta
O esboço do gráfico de
apresenta uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
. O gráfico passa pelo ponto
no eixo Y, não intercepta o eixo X, e apresenta duas ramos: um no lado direito da assíntota vertical que decresce em direção à assíntota horizontal, e outro no lado esquerdo que cresce em direção à mesma assíntota. Dessa forma, o gráfico se aproxima das assíntotas sem jamais tocá-las.