Faça um esboço dos gráficos da seguinte função, seguindo o roteiro fornecido em aula:
f(x)=1x+1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que fazer um esboço do gráfico da função f(x) = 1x+1 . Isso faz parte da matéria de Funções e Gráficos. Para resolver, vamos precisar entender sobre domínio, assíntotas, interceptos e comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de x que a função pode assumir sem causar problemas, como divisões por zero. Na nossa função:
f(x) = 1x+1
O denominador x + 1 não pode ser zero. Então,
x + 1 neq 0 Rightarrow x neq -1
Então, o domínio é todos os números reais exceto x = -1 .

Passo 3

Agora, vamos identificar as assíntotas da função. As assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca.
  • Assíntota Vertical: Ocorre onde o denominador é zero. No nosso caso, x = -1 . Então, temos uma assíntota vertical em x = -1 .
  • Assíntota Horizontal: Observando o comportamento da função quando x tende ao infinito, percebemos que f(x) se aproxima de 0. Então, a assíntota horizontal é y = 0 .

Passo 4

Vamos achar os interceptos com os eixos.
  • Intercepto com o eixo Y: É o ponto onde x = 0 .
f(0) = 10+1 = 1
Então, o intercepto com o eixo Y é (0, 1) .
  • Intercepto com o eixo X: É o ponto onde f(x) = 0 . Mas, 1x+1 = 0 nunca é verdadeiro porque uma fração só é zero quando o numerador é zero, e aqui o numerador é sempre 1. Então, não há intercepto com o eixo X.

Passo 5

Vamos plotar alguns pontos-chave para entender melhor o gráfico.
  • Para x = -2 :
f(-2) = 1-2 + 1 = 1-1 = -1
Ponto: (-2, -1)
  • Para x = 1 :
f(1) = 11 + 1 = 12 = 0,5
Ponto: (1, 0,5)
  • Para x = 2 :
f(2) = 12 + 1 = 13 approx 0,33
Ponto: (2, 0,33)
Esses pontos ajudam a ver como a função se comporta próximo às assíntotas.

Passo 6

Com todas essas informações, vamos descrever o gráfico:
  • A função tem uma assíntota vertical em x = -1 e uma assíntota horizontal em y = 0 .
  • Cruzamos o eixo Y no ponto (0,1) .
  • Não há cruzes com o eixo X.
  • Para x > -1 , a função é positiva e diminui à medida que x aumenta.
  • Para x < -1 , a função é negativa e aumenta em direção a zero conforme x se afasta de -1.

Resposta

O esboço do gráfico de f(x) = 1x+1 apresenta uma assíntota vertical em x = -1 e uma assíntota horizontal em y = 0 . O gráfico passa pelo ponto (0,1) no eixo Y, não intercepta o eixo X, e apresenta duas ramos: um no lado direito da assíntota vertical que decresce em direção à assíntota horizontal, e outro no lado esquerdo que cresce em direção à mesma assíntota. Dessa forma, o gráfico se aproxima das assíntotas sem jamais tocá-las.

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