Faça um esboço dos gráficos da seguinte função, seguindo o roteiro fornecido em aula:
;
Passo 1
O enunciado nos pede o esboço do gráfico de
O conteúdo aqui é análise de curva para esboço: vamos estudar domínio, simetria, interceptos, limites, derivadas (monotonicidade e concavidade) e então traçar o gráfico.
Passo 2
Domínio e continuidade: como
é definido para todo
e a exponencial é contínua em todo real, temos
Passo 3
Paridade e intercepto:
logo
é par. Em
temos
então o gráfico passa por
.
Passo 4
Limites em infinito:
Não há assíntotas horizontais ou verticais finitas.
Passo 5
Primeira derivada e monotonicidade:
- Para
, decresce em . - Para
, cresce em .
Emhá único ponto crítico, que é mínimo global com .
Passo 6
Segunda derivada e concavidade:
Logo a curva é côncava para cima em todo
e não há pontos de inflexão.
Passo 7
Esboço do gráfico:
. Traçar eixos
e
.
. Marcar o ponto mínimo
.
. Como é par, basta traçar para
e espelhar.
. Para referência, anotar pontos
e
.
. A curva desce de
em
até
e sobe para
em
, sempre côncava para cima.
Resposta
Um esboço qualitativo de
:
y
^
|* *
|
| * *
|
| * *
--------------------> t
- -
Aqui os marcam aproximadamente
,
,
,
,
. A curva é suave, simétrica, com mínimo em
e côncava para cima.
y
^
|
|
-
Aqui os