Faça um esboço dos gráficos da seguinte função, seguindo o roteiro fornecido em aula:
g(t)=e^t^2;

Passo 1

O enunciado nos pede o esboço do gráfico de
g(t)=e^t^2
O conteúdo aqui é análise de curva para esboço: vamos estudar domínio, simetria, interceptos, limites, derivadas (monotonicidade e concavidade) e então traçar o gráfico.

Passo 2

Domínio e continuidade: como t^2 é definido para todo tinR e a exponencial é contínua em todo real, temos
Dom(g)=R, g(t)>0, g é contínua em R éí

Passo 3

Paridade e intercepto:
g(-t)=e^(-t)^2=e^t^2=g(t),
logo g é par. Em t=0 temos
g(0)=e^0=1,
então o gráfico passa por (0,1).

Passo 4

Limites em infinito:
limttopminftyt^2=+inftyLongrightarrow limttopminftyg(t)=limttopminftye^t^2=+infty
Não há assíntotas horizontais ou verticais finitas.

Passo 5

Primeira derivada e monotonicidade:
g'(t)=ddte^t^2=2t,e^t^2
  • Para t<0, g'(t)<0 Rightarrow g decresce em (-infty,0).
  • Para t>0, g'(t)>0 Rightarrow g cresce em (0,infty).
    Em t=0 há único ponto crítico, que é mínimo global com g(0)=1.

Passo 6

Segunda derivada e concavidade:
g''(t)=ddt(2t,e^t^2) =(2+4t^2),e^t^2>0forall,t
Logo a curva é côncava para cima em todo R e não há pontos de inflexão.

Passo 7

Esboço do gráfico:
1. Traçar eixos t e y.
2. Marcar o ponto mínimo (0,1).
3. Como é par, basta traçar para t>=0 e espelhar.
4. Para referência, anotar pontos (1,e)approx(1,2,7) e (2,e^4)approx(2,54,6).
5. A curva desce de +infty em tto-infty até (0,1) e sobe para +infty em tto+infty, sempre côncava para cima.

Resposta

Um esboço qualitativo de g(t)=e^t^2:
y
^
60 |* *
|
5 | * *
|
1 | * *
+--------------------> t
- 2 - 10^12
Aqui os ast marcam aproximadamente
(-2,e^4), (-1,e), (0,1), (1,e), (2,e^4). A curva é suave, simétrica, com mínimo em (0,1) e côncava para cima.

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