Considere a função
.
Use o teste da segumda defivada para determinar os extremos locais de
.
Use o teste da segumda defivada para determinar os extremos locais de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar os extremos locais usando o teste da segunda derivada. Para isso precisamos: (a) calcular
e achar os pontos críticos; (b) calcular
e avaliar seu sinal nesses pontos.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada e obtemos os pontos críticos:
Logo,
implica
Passo 3
Agora a segunda derivada:
Avaliando em cada ponto crítico:
- Em
:
- Em
:
logo o teste da segunda derivada é inconclusivo em
.
Passo 4
Para
, como
,
é côncava para cima ali, indicando um mínimo local. Calculando o valor,
Para
, com
, o teste falha. Fazendo análise de sinal de
:
• Se ,
e
, logo
.
• Se ,
e
, logo
.
Como não muda de sinal ao passar por
, não há extremo em
.
• Se
• Se
Como
Resposta
A função não tem máximos locais e apresenta apenas um mínimo local em
, cujo valor é
.