Considere a função f(x)=3 x^{4}-4 x^{3}+5.
Use o teste da segumda defivada para determinar os extremos locais de f.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=3x^4-4x^3+5 e pede para encontrar os extremos locais usando o teste da segunda derivada. Para isso precisamos: (a) calcular f'(x) e achar os pontos críticos; (b) calcular f''(x) e avaliar seu sinal nesses pontos.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada e obtemos os pontos críticos:
f'(x)=\frac{d}{dx}(3x^4-4x^3+5)=12x^3-12x^2=12x^2(x-1).
Logo, f'(x)=0 implica
12x^2(x-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=1.

Passo 3

Agora a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(12x^2(x-1)\bigr) =36x^2-24x =12x(3x-2).
Avaliando em cada ponto crítico:
  • Em x=1:
f''(1)=12\cdot1\,(3\cdot1-2)=12>0.
  • Em x=0:
f''(0)=12\cdot0\,(3\cdot0-2)=0,
logo o teste da segunda derivada é inconclusivo em x=0.

Passo 4

Para x=1, como f''(1)>0, f é côncava para cima ali, indicando um mínimo local. Calculando o valor,
f(1)=3\cdot1^4-4\cdot1^3+5=3-4+5=4.
Para x=0, com f''(0)=0, o teste falha. Fazendo análise de sinal de f'(x)=12x^2(x-1):
• Se x<0, x^2>0 e x-1<0, logo f'(x)<0.
• Se 0<x<1, x^2>0 e x-1<0, logo f'(x)<0.
Como f' não muda de sinal ao passar por x=0, não há extremo em x=0.

Resposta

A função não tem máximos locais e apresenta apenas um mínimo local em x=1, cujo valor é f(1)=4.

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