Considere a função
.
a) Encontre os pontos críticos da função
.
b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da funçĩo.
c) Identifique os pontos de inflexão da função
.
d) Verifique os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo.
e) Esboce o gráfico da função
, destacando os pontos críticos e os pontos de inflexão.
a) Encontre os pontos críticos da função
b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da funçĩo.
c) Identifique os pontos de inflexão da função
d) Verifique os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo.
e) Esboce o gráfico da função
Passo 1
O enunciado pede o estudo de monotonicidade, pontos críticos, inflexão, concavidade e o esboço do gráfico da função
Para isso vamos usar a derivada primeira para (a) e (b), a derivada segunda para (c) e (d), e por fim montar o esboço em (e).
Passo 2
Calculamos a derivada primeira:
Os pontos críticos são as raízes de
, ou seja
e
.
Passo 3
Para ver crescimento e decrescimento, analisamos o sinal de
em cada intervalo dado pelos críticos:
– Em , por exemplo em
,
, logo
cresce em
.
– Em , por exemplo em
,
, logo decresce em
.
– Em , por exemplo em
,
, logo cresce em
.
– Em
– Em
– Em
Passo 4
Calculamos a derivada segunda:
O ponto de inflexão ocorre onde
, ou seja em
.
Passo 5
Analisamos a concavidade pelo sinal de
:
– Para ,
, logo
é côncava para baixo em
.
– Para ,
, logo
é côncava para cima em
.
– Para
– Para
Passo 6
Calculamos os valores de
nos pontos especiais:
Assim os pontos são: máximo local em
, mínimo local em
e inflexão em
.
Passo 7
Esboço do gráfico:
– A curva cresce até o ponto , onde há máximo local.
– Depois decresce até , onde há mínimo local.
– Em a concavidade muda (ponto de inflexão em
).
– Para cresce de novo, sendo côncava para cima.
– A curva cresce até o ponto
– Depois decresce até
– Em
– Para
Resposta
a) Pontos críticos:
e
.
b) Crescimento em e em
; decrescimento em
.
c) Ponto de inflexão em .
d) Côncava para baixo em ; côncava para cima em
.
e) Gráfico mostrando máximo local em , mínimo local em
, inflexão em
, cresce até
, decresce até
, depois cresce novamente.
b) Crescimento em
c) Ponto de inflexão em
d) Côncava para baixo em
e) Gráfico mostrando máximo local em