Considere a função f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x+1.
a) Encontre os pontos críticos da função f(x).
b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da funçĩo.
c) Identifique os pontos de inflexão da função f(x).
d) Verifique os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo.
e) Esboce o gráfico da função f(x), destacando os pontos críticos e os pontos de inflexão.

Passo 1

O enunciado pede o estudo de monotonicidade, pontos críticos, inflexão, concavidade e o esboço do gráfico da função
f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1.
Para isso vamos usar a derivada primeira para (a) e (b), a derivada segunda para (c) e (d), e por fim montar o esboço em (e).

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^3 - 6x^2 + 9x + 1\bigr) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3).
Os pontos críticos são as raízes de f'(x)=0, ou seja x=1 e x=3.

Passo 3

Para ver crescimento e decrescimento, analisamos o sinal de f'(x) em cada intervalo dado pelos críticos:
– Em x<1, por exemplo em x=0, f'(0)=9>0, logo f cresce em (-\infty,1).
– Em 1<x<3, por exemplo em x=2, f'(2)=3\cdot4-24+9=-3<0, logo decresce em (1,3).
– Em x>3, por exemplo em x=4, f'(4)=3\cdot16-48+9=9>0, logo cresce em (3,\infty).

Passo 4

Calculamos a derivada segunda:
f''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(3x^2 -12x +9\bigr) = 6x -12.
O ponto de inflexão ocorre onde f''(x)=0, ou seja em x=2.

Passo 5

Analisamos a concavidade pelo sinal de f''(x):
– Para x<2, f''(x)<0, logo f é côncava para baixo em (-\infty,2).
– Para x>2, f''(x)>0, logo f é côncava para cima em (2,\infty).

Passo 6

Calculamos os valores de f nos pontos especiais:
f(1) = 1 -6 +9 +1 = 5,\quad f(3) = 27 -54 +27 +1 = 1,\quad f(2) = 8 -24 +18 +1 = 3.
Assim os pontos são: máximo local em (1,5), mínimo local em (3,1) e inflexão em (2,3).

Passo 7

Esboço do gráfico:
– A curva cresce até o ponto (1,5), onde há máximo local.
– Depois decresce até (3,1), onde há mínimo local.
– Em x=2 a concavidade muda (ponto de inflexão em (2,3)).
– Para x>3 cresce de novo, sendo côncava para cima.

Resposta

a) Pontos críticos: x=1 e x=3.
b) Crescimento em (-\infty,1) e em (3,\infty); decrescimento em (1,3).
c) Ponto de inflexão em (2,3).
d) Côncava para baixo em (-\infty,2); côncava para cima em (2,\infty).
e) Gráfico mostrando máximo local em (1,5), mínimo local em (3,1), inflexão em (2,3), cresce até x=1, decresce até x=3, depois cresce novamente.

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