Transforme cada sistema abaixo em uma equação diferencial linear de 2^{\underline{a}} ordem e resolva-a na sequência:
\left\{\begin{array}{l}x_{2}^{\prime}=-x_{1}-2 x_{2} \\\ x_{1}^{\prime}=x_{2}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} x_{1}' = x_{2},\\\ x_{2}' = -\,x_{1} - 2\,x_{2} \end{cases}
e pede para transformá-lo numa única equação diferencial linear de segunda ordem e depois resolvê-la. O conteúdo envolvido é eliminação de variável em sistemas de EDO’s e solução de EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Para eliminar x_{2}, observe que de x_{1}' = x_{2} segue
x_{1}'' = x_{2}'.
Como x_{2}' = -\,x_{1} - 2\,x_{2}, substituímos:
x_{1}'' = -\,x_{1} - 2\,x_{2}.
Mas x_{2} = x_{1}', logo
x_{1}'' + 2\,x_{1}' + x_{1} = 0.

Passo 3

A equação característica associada é
r^{2} + 2r + 1 = 0,
cuja raiz dupla é r = -1. Portanto a solução geral para x_{1}(t) é
x_{1}(t) = C_{1}\,e^{-t} + C_{2}\,t\,e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Para obter x_{2}(t), usamos x_{2} = x_{1}'. Derivando:
x_{2}(t) = x_{1}'(t) = -\,C_{1}\,e^{-t} + C_{2}\bigl(e^{-t} - t\,e^{-t}\bigr) = -\,C_{1}\,e^{-t} + C_{2}(1 - t)\,e^{-t}.

Resposta

x_{1}(t) = C_{1}\,e^{-t} + C_{2}\,t\,e^{-t} x_{2}(t) = -\,C_{1}\,e^{-t} + C_{2}(1 - t)\,e^{-t}

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