Transforme cada sistema abaixo em uma equação diferencial linear de 2^{\underline{a}} ordem e resolva-a na sequência:
\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{\prime}=x_{2} \\\ x_{2}^{\prime}=-x_{1}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema
\begin{cases} x_{1}' = x_{2},\\\ x_{2}' = -x_{1}, \end{cases}
e pede para transformá-lo numa única equação diferencial linear de segunda ordem e depois resolvê-la. O conteúdo é resolução de equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, usando eliminação de variáveis.

Passo 2

Da primeira equação temos x_{2}=x_{1}'. Diferenciando esse resultado em relação a t obtemos
x_{2}' = x_{1}''.
Pela segunda equação do sistema, x_{2}'=-x_{1}. Logo
x_{1}'' = -x_{1},
que é a equação diferencial de segunda ordem procurada.

Passo 3

Escrevendo em forma padrão,
x_{1}'' + x_{1} = 0.
A equação característica é
r^{2} + 1 = 0
com raízes r = \pm i. Portanto, a solução geral é
x_{1}(t) = C_{1}\cos t + C_{2}\sin t,
onde C_{1} e C_{2} são constantes de integração.

Passo 4

Para recuperar x_{2}(t), usamos x_{2}=x_{1}'. Calculando a derivada de x_{1}(t),
x_{2}(t) = x_{1}'(t) = -C_{1}\sin t + C_{2}\cos t.

Resposta

x_{1}(t) = C_{1}\cos t + C_{2}\sin t, \quad x_{2}(t) = -C_{1}\sin t + C_{2}\cos t,
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados