Considere a função f(x)=arctg(x^3)+3^2 x. Determine:
(a) a equação da reta tangente ao gráfico de f^-1 no ponto (1,0),
(b) a equação da reta normal ao gráfico de f^-1 no ponto (1,0).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=arctan(x^3)+3^2x
e pede as retas tangente e normal ao gráfico da inversa f^-1 no ponto (1,0). O conteúdo necessário inclui a derivada de f, a fórmula da derivada de uma inversa
(f^-1)'(a)=1f'l(f^-1(a)r),
e o fato de que a reta normal tem coeficiente angular igual a menos o inverso do coeficiente angular da reta tangente.

Passo 2

Antes de tudo, identificamos que o ponto (1,0) do gráfico de f^-1 corresponde a x0=1 e y0=f^-1(1)=0. De fato, conferimos que
f(0)=arctan(0^3)+3^2cdot0=0+1=1,
logo f(0)=1 e realmente f^-1(1)=0.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f. Temos duas parcelas:
  1. ddxl[arctan(x^3)r]=3x^21+(x^3)^2=3x^21+x^6
  2. ddxl[3^2xr]=ddxl[e^2xln3r]=2ln(3),e^2xln3=2ln(3),3^2x
    Portanto, em bloco:
f'(x)=3x^21+x^6+2ln(3),3^2x

Passo 4

Avaliamo f' no ponto correspondente x=0:
f'(0)=3cdot0^21+0^6+2ln(3),3^0=0+2ln(3)cdot1=2ln(3)

Passo 5

Pela fórmula da derivada da inversa, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f^-1 em (1,0) é
mtan=(f^-1)'(1)=1f'(0)=12ln(3)

Passo 6

A equação da reta tangente em (1,0) fica
y-0=12ln(3)l(x-1r) Longrightarrow y=12ln(3)(x-1)

Passo 7

Para a reta normal, o coeficiente angular é o negativo do inverso de mtan, ou seja
mnorm=-1mtan=-2ln(3)
Assim, a equação da reta normal em (1,0) é
y-0=-2ln(3),(x-1) Longrightarrow y=-2ln(3),(x-1)

Resposta

A reta tangente é
y=12ln(3),(x-1),
e a reta normal é
y=-2ln(3),(x-1)

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