Considere a função
. Determine:
(a) a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
,
(b) a equação da reta normal ao gráfico de
no ponto
.
(a) a equação da reta tangente ao gráfico de
(b) a equação da reta normal ao gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as retas tangente e normal ao gráfico da inversa
no ponto
. O conteúdo necessário inclui a derivada de
, a fórmula da derivada de uma inversa
e o fato de que a reta normal tem coeficiente angular igual a menos o inverso do coeficiente angular da reta tangente.
Passo 2
Antes de tudo, identificamos que o ponto
do gráfico de
corresponde a
e
. De fato, conferimos que
logo
e realmente
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Temos duas parcelas:
-
-
Portanto, em bloco:
Passo 4
Avaliamo
no ponto correspondente
:
Passo 5
Pela fórmula da derivada da inversa, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
em
é
Passo 6
A equação da reta tangente em
fica
Passo 7
Para a reta normal, o coeficiente angular é o negativo do inverso de
, ou seja
Assim, a equação da reta normal em
é
Resposta
A reta tangente é
e a reta normal é