Sabendo que y=f(x) está definida implicitamente pela equação e^y sen(x+2 y)+y^3=x y, determine:
(a) a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( pi, 0 ),
(b) a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto (pi, 0).

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por
e^ysin(x+2y)+y^3=x,y
e pede (a) a reta tangente e (b) a reta normal ao gráfico de y=f(x) no ponto (pi,0). Vamos usar diferenciação implícita para achar dydx e depois obter as equações das retas.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, temos
ddxl(e^ysin(x+2y)r)+ddx(y^3) =ddx(x,y)
Agora,
ddxl(e^ysin(x+2y)r) = e^yy',sin(x+2y) +e^ycos(x+2y),(1+2y'),
ddx(y^3)=3y^2y', ddx(x,y)=y + x,y'

Passo 3

Reunindo os termos com y' num lado e os demais no outro, obtemos
y'l(e^ysin(x+2y)+2e^ycos(x+2y)+3y^2r) +e^ycos(x+2y) = y + x,y',
y'l(e^ysin(x+2y)+2e^ycos(x+2y)+3y^2-xr) = y - e^ycos(x+2y)
Logo,
dydx = y - e^ycos(x+2y) ,e^ysin(x+2y)+2e^ycos(x+2y)+3y^2-x,

Passo 4

No ponto (x,y)=(pi,0):
num = 0 - e^0cos(pi) = -1cdot(-1)=1, den = e^0sin(pi)+2e^0cos(pi)+0-pi = -2-pi
Assim a inclinação da tangente é
mt=dydx|(pi,0) = 1-2-pi = -1pi+2

Passo 5

A equação da reta tangente em (pi,0) com coeficiente angular mt é
y-0 = -1pi+2l(x-pir)
A reta normal tem coeficiente angular mn=-1mt=pi+2, logo
y-0 = (pi+2)l(x-pir)

Resposta

(a) y = -dfrac1pi+2,(x-pi)
(b) y = (pi+2),(x-pi)

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