6: Considere a função
f(x)=x+\frac{x^{2}}{4}, \quad-\pi<x<\pi
a) Determine os coeficientes de Fourier
b) Escreva a série de Fourier de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x+\frac{x^{2}}{4},\quad -\pi<x<\pi
e pede (a) os coeficientes de Fourier a_{0},a_{n},b_{n} e (b) a série de Fourier. Vamos usar as fórmulas padrão para séries de Fourier em (-\pi,\pi):
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx, \quad a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Cálculo de a_{0}. Como
\int_{-\pi}^{\pi}x\,dx=0 \quad\text{e}\quad \int_{-\pi}^{\pi}x^{2}\,dx =2\int_{0}^{\pi}x^{2}\,dx =2\cdot\frac{\pi^{3}}{3} =\frac{2\pi^{3}}{3},
temos
\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\int_{-\pi}^{\pi}x\,dx +\frac{1}{4}\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}\,dx =0+\frac{1}{4}\cdot\frac{2\pi^{3}}{3} =\frac{\pi^{3}}{6}.
Logo
a_{0} =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi^{3}}{6} =\frac{\pi^{2}}{6}.

Passo 3

Cálculo de a_{n}. Note que \int_{-\pi}^{\pi}x\cos(nx)\,dx=0 (função ímpar vezes par) e
a_{n} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{x^{2}}{4}\cos(nx)\,dx =\frac{1}{4\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}\cos(nx)\,dx.
Usando simetria par,
\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}\cos(nx)\,dx =2\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos(nx)\,dx.
Fazendo integração por partes em \displaystyle I=\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos(nx)\,dx obtém-se
I=\frac{2\pi(-1)^{n}}{n^{2}},
logo
\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}\cos(nx)\,dx =2I =\frac{4\pi(-1)^{n}}{n^{2}}
e
a_{n} =\frac{1}{4\pi}\cdot\frac{4\pi(-1)^{n}}{n^{2}} =\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.

Passo 4

Cálculo de b_{n}. O termo com x^{2}\sin(nx) é ímpar e dá zero, restando
b_{n} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx.
Chamando \displaystyle J=\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx e repetindo integração por partes, encontra-se
J=-\frac{\pi}{n}(-1)^{n},
portanto
b_{n} =\frac{2}{\pi}\Bigl(-\frac{\pi}{n}(-1)^{n}\Bigr) =-\frac{2(-1)^{n}}{n} =\frac{2(-1)^{n+1}}{n}.

Passo 5

Escrevendo a série de Fourier em (-\pi,\pi):
f(x)\sim \frac{a_{0}}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr).
Substituindo os coeficientes:

Resposta

a)
a_{0}=\frac{\pi^{2}}{6}, \quad a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}, \quad b_{n}=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}.
b)
f(x) =\frac{\pi^{2}}{12} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos(nx) +\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)\Bigr].

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