Considere a função
f(x)= \begin{cases}0, & -\pi<x<0 \\\ x, & 0<x<\pi\end{cases}
Determine a série de Fourier completa de f(x) em (-\pi, \pi), encontrando explicitamente a_{0}, a_{n} e b_{n}.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes no intervalo (-\pi,\pi)\): \[f(x)= \begin{cases}0, & -\pi<x<0 \\\ x, & 0<x<\pi\end{cases}
O que se pede:
  • Determinar a série de Fourier completa de f\] em \((-\pi,\pi).
  • Encontrar explicitamente a_{0}, a_{n} e b_{n}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O período considerado é 2\pi (intervalo padrão (-\pi,\pi)).
  • A função é zero em (-\pi,0) e igual a x em (0,\pi).
  • As integrais para os coeficientes podem ser reduzidas ao intervalo [0,\pi] por causa da parte nula em (-\pi,0).

Passo 2

Lembrando a forma geral da série de Fourier completa em (-\pi,\pi):
f(x)\sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right).
As fórmulas para os coeficientes (explicando cada símbolo):
  • a_{0} é o coeficiente da média, dado por
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx,
onde o integral calcula a área média de f no período e o factor 1/\pi normaliza para o intervalo (-\pi,\pi).
  • Para n\ge 1,
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx, \qquad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.
Estas expressões vêm da ortogonalidade das funções trigonométricas \{1,\cos(nx),\sin(nx)\} no intervalo (-\pi,\pi).

Passo 3

Cálculo de a_{0}. Como f(x)=0 para -\pi<x<0 e f(x)=x para 0<x<\pi, temos
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\,dx =\frac{1}{\pi}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{\pi} =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi^{2}}{2} =\frac{\pi}{2}.
Portanto a_{0}=\dfrac{\pi}{2} (o termo constante na série será \dfrac{a_{0}}{2}=\dfrac{\pi}{4}).

Passo 4

Cálculo de a_{n} para n\ge1. Começamos pela integral
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\cos(nx)\,dx,
porque f(x)=0 em (-\pi,0). Agora calculamos
I_{n}=\int_{0}^{\pi} x\cos(nx)\,dx.
Usamos integração por partes: tomar u=x e dv=\cos(nx)\,dx. Então du=dx e v=\dfrac{\sin(nx)}{n}. Logo
I_{n}=\left.\frac{x\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(nx)}{n}\,dx.
A primeira parcela é \dfrac{\pi\sin(n\pi)}{n}=0 pois \sin(n\pi)=0. A segunda integral é
\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx=\left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi}=-\frac{\cos(n\pi)-\cos 0}{n} =-\frac{(-1)^{n}-1}{n}.
Substituindo,
I_{n}=0-\frac{1}{n}\left(-\frac{(-1)^{n}-1}{n}\right)=\frac{(-1)^{n}-1}{n^{2}}.
Portanto
a_{n}=\frac{1}{\pi}I_{n}=\frac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}.
Interpretação por paridade:
  • Se n é par, (-1)^{n}=1 e a_{n}=0.
  • Se n é ímpar, (-1)^{n}=-1 e a_{n}=\dfrac{-2}{\pi n^{2}}.

Passo 5

Cálculo de b_{n} para n\ge1. Começamos por
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Defina
J_{n}=\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Fazendo integração por partes com u=x, dv=\sin(nx)\,dx, obtemos du=dx, v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}. Logo
J_{n}=\left.-\frac{x\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}+\int_{0}^{\pi}\frac{\cos(nx)}{n}\,dx =-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}+\frac{1}{n}\left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi}.
Como \sin(n\pi)=0, a segunda parcela é zero, restando
J_{n}=-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}=-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}.
Assim
b_{n}=\frac{1}{\pi}J_{n}=-\frac{(-1)^{n}}{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{n}.
Como verificação rápida: para n=1 obtemos b_{1}=1, consistente com cálculo direto.

Passo 6

Escrevendo a série de Fourier completa com os coeficientes encontrados. Substituindo a_{0}, a_{n} e b_{n} na fórmula geral:
f(x)\sim \frac{\pi}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}\cos(nx)+\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)\right).
Pode-se notar que os termos em \cos(nx) existem apenas para n ímpar (para n par a_{n}=0), então uma forma alternativa, escrevendo apenas n=2m+1 nas parcelas de cosseno, é
f(x)\sim \frac{\pi}{4}-\frac{2}{\pi}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\cos\big((2m+1)x\big)}{(2m+1)^{2}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx).
Ambas as expressões representam a mesma série; a primeira é a forma com fórmula uniforme para a_{n}, a segunda destaca que só os n ímpares aparecem no termo de cosseno.

Resposta

\displaystyle a_{0}=\frac{\pi}{2}
\displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}\quad(n\ge1)
\displaystyle b_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{n}\quad(n\ge1)
Série de Fourier:
\displaystyle f(x)\sim \frac{\pi}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}\cos(nx)+\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)\right).

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