Considere a função
Determine a série de Fourier completa de
em
, encontrando explicitamente
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes no intervalo
O que se pede:
- Determinar a série de Fourier completa de .
- Encontrar explicitamente
, e .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O período considerado é
(intervalo padrão ). - A função é zero em
e igual a em . - As integrais para os coeficientes podem ser reduzidas ao intervalo
por causa da parte nula em .
Passo 2
Lembrando a forma geral da série de Fourier completa em
:
As fórmulas para os coeficientes (explicando cada símbolo):
-
é o coeficiente da média, dado por
onde o integral calcula a área média de
no período e o factor
normaliza para o intervalo
.
- Para
,
Estas expressões vêm da ortogonalidade das funções trigonométricas
no intervalo
.
Passo 3
Cálculo de
. Como
para
e
para
, temos
Portanto
(o termo constante na série será
).
Passo 4
Cálculo de
para
. Começamos pela integral
porque
em
. Agora calculamos
Usamos integração por partes: tomar
e
. Então
e
. Logo
A primeira parcela é
pois
. A segunda integral é
Substituindo,
Portanto
Interpretação por paridade:
- Se
é par, e . - Se
é ímpar, e .
Passo 5
Cálculo de
para
. Começamos por
Defina
Fazendo integração por partes com
,
, obtemos
,
. Logo
Como
, a segunda parcela é zero, restando
Assim
Como verificação rápida: para
obtemos
, consistente com cálculo direto.
Passo 6
Escrevendo a série de Fourier completa com os coeficientes encontrados. Substituindo
,
e
na fórmula geral:
Pode-se notar que os termos em
existem apenas para
ímpar (para
par
), então uma forma alternativa, escrevendo apenas
nas parcelas de cosseno, é
Ambas as expressões representam a mesma série; a primeira é a forma com fórmula uniforme para
, a segunda destaca que só os
ímpares aparecem no termo de cosseno.
Resposta
Série de Fourier: