Considere a função
f(x)=x \cdot e^{-x}
e faça o que se pede em cada item a seguir.
a) Determine o domínio de f e as interseções de seu gráfico com os eixos.
b) Determine os intervalos de crescimento e descrescimento e os pontos de máximos e mínimos locais de f, caso existam.
c) Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e o(s) ponto(s) de inflexão de f, caso existam.
d) Determine as assíntotas ao gráfico de f, caso existam.
e) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x\cdot e^{-x}
e pede, em cada item:
  • (a) o domínio de f e as interseções do gráfico com os eixos;
  • (b) intervalos de crescimento/decrescimento e pontos de máximos/minimos locais;
  • (c) intervalos de concavidade para cima/para baixo e ponto(s) de inflexão;
  • (d) assíntotas do gráfico (se existirem);
  • (e) um esboço do gráfico.
Informações relevantes dadas (já explícitas no enunciado):
  • A função é dada por \,f(x)=x\,e^{-x}\,.
  • Não há figura nem restrição adicional sobre x.

Passo 2

Domínio e interseções com os eixos.
Explicação (regra): o domínio de uma função racional ou exponencial composta normalmente é todos os x para os quais as expressões estão definidas. A função e^{-x} está definida para todo x\in\mathbb{R}. Multiplicando por x não cria restrição.
  • Domínio: \mathbb{R} (todos os reais), pois tanto x quanto e^{-x} são definidos para todo x.
Interseções com os eixos:
  • Interseção com o eixo y (valor em x=0): calcular f(0).
f(0)=0\cdot e^{0}=0.
Logo o ponto (0,0) é a interseção com o eixo y.
  • Interseções com o eixo x (soluções de f(x)=0): resolver x e^{-x}=0. Como e^{-x}>0 para todo x, a única solução é x=0. Portanto o único ponto de interseção é (0,0).

Passo 3

Derivada primeira: regras e cálculo.
Aula rápida (o que usar): para derivar um produto u(x)v(x) usa-se a regra do produto: (uv)'=u'v+uv'. Para a exponencial e^{g(x)} vale \dfrac{d}{dx}e^{g(x)}=g'(x)e^{g(x)}. Aqui g(x)=-x, então \dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}.
Aplicando à nossa função \,f(x)=x\cdot e^{-x}\,:
  • Tome u(x)=x e v(x)=e^{-x}.
  • u'(x)=1.
  • v'(x)=-e^{-x}.
Usando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x}).
Fatorando e^{-x}:
f'(x)=e^{-x}(1-x).

Passo 4

Crescimento/decrescimento e pontos críticos.
Conceito: a função cresce quando f'(x)>0 e decresce quando f'(x)<0. Pontos críticos ocorrem onde f'(x)=0 ou f' não existe (aqui f' existe em todo \mathbb{R}).
Resolver f'(x)=0:
e^{-x}(1-x)=0.
Como e^{-x}>0 sempre, a condição reduz-se a 1-x=0, ou seja x=1. Esse é o único ponto crítico.
Análise do sinal de f'(x)=e^{-x}(1-x):
  • e^{-x}>0 para todo x, então o sinal de f' é o sinal de (1-x).
  • Se x<1 então 1-x>0 e f'(x)>0 f é crescente em (-\infty,1).
  • Se x>1 então 1-x<0 e f'(x)<0 f é decrescente em (1,\infty).
Tipo do ponto x=1: como f' muda de positivo para negativo ao atravessar 1, x=1 é um ponto de máximo local. Calcular a ordenada:
f(1)=1\cdot e^{-1}=\frac{1}{e}.
Observação: esse máximo é também máximo global, pois à direita a função tende a 0 e à esquerda tende a -\infty (ver limites depois), então f(1)=1/e é o maior valor atingido.
Não existem pontos de mínimo local, porque não há outro ponto crítico onde o sinal de f' faça mínimo.

Passo 5

Derivada segunda: regras e cálculo; concavidade e pontos de inflexão.
Regra/ideia: a concavidade é dada pelo sinal de f''(x). Se f''(x)>0 a curva é côncava para cima; se f''(x)<0 côncava para baixo. Pontos de inflexão são pontos onde f''(x)=0 com troca de sinal de f''.
Calcular f''(x) a partir de f'(x)=e^{-x}(1-x). Usar novamente regra do produto ou derivação direta:
  • Derivada de e^{-x} é -e^{-x}.
  • Derivada de (1-x) é -1.
Logo
f''(x) = \frac{d}{dx}\big(e^{-x}(1-x)\big) = -e^{-x}(1-x) + e^{-x}(-1).
Fatorando e^{-x}:
f''(x)=e^{-x}\big(-(1-x)-1\big)=e^{-x}(x-2).
Determinar pontos onde f''(x)=0:
e^{-x}(x-2)=0 \quad\Rightarrow\quad x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Troca de sinal de f'':
  • Para x<2, x-2<0 e e^{-x}>0 f''(x)<0 → concavidade para baixo em (-\infty,2).
  • Para x>2, x-2>0 f''(x)>0 → concavidade para cima em (2,\infty).
Portanto x=2 é ponto de inflexão. Ordenada correspondente:
f(2)=2\cdot e^{-2}=\frac{2}{e^{2}}.

Passo 6

Assíntotas: tipos e cálculo de limites.
Primeiro, assíntotas verticais: ocorrem onde a função diverge para \pm\infty em um ponto do próprio eixo x devido a singularidade. Aqui a função está definida para todo x, sem singularidade finita, logo não há assíntotas verticais.
Assíntotas horizontais/oblíquas analisando limites em \pm\infty.
Calcular limites:
  • Limite em +\infty:
\lim_{x\to+\infty} x e^{-x}.
Ideia: exponencial decai muito mais rápido que qualquer polinômio, então o produto tende a 0. Formalmente pode-se usar que e^{x} cresce mais rápido que x, ou dividir por e^{x} e usar que x/e^{x}\to0. Assim
\lim_{x\to+\infty} f(x)=0.
Portanto existe a assíntota horizontal y=0 quando x\to+\infty. Observação do sinal: para x>0 a função é positiva, então aproxima-se de 0 por valores positivos.
  • Limite em -\infty:
\lim_{x\to-\infty} x e^{-x}.
Para x\to-\infty temos -x\to+\infty e e^{-x}=e^{|x|}\to+\infty. O produto é (\text{grande negativo})\times(\text{grande positivo}) e o termo exponencial domina, levando o produto para -\infty. Logo
\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty.
Portanto não há assíntota horizontal nem oblíqua à esquerda.
Sobre assíntota oblíqua (reta y=mx+b quando x\to\pm\infty): para existir é necessário que o limite de f(x)/x quando x\to\pm\infty seja finito (dá m). Verificação:
  • Em +\infty: \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0, então m=0 e o termo b=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-mx)=\lim f(x)=0. Isso corresponde à assíntota horizontal y=0 já identificada.
  • Em -\infty: \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty, não finito, logo não existe assíntota oblíqua nem horizontal à esquerda.
Resumo das assíntotas:
  • Assíntota horizontal y=0 quando x\to+\infty.
  • Nenhuma assíntota vertical.
  • Nenhuma assíntota oblíqua.

Passo 7

Esboço do gráfico: pontos e forma (instruções para desenhar no papel).
Pontos e características importantes para traçar:
  • Domínio: (-\infty,\infty).
  • Intercepto: (0,0). Tangente em x=0 tem declive f'(0)=e^{0}(1-0)=1, então passa pelo ponto com inclinação 1.
  • Crescimento/decrescimento: crescente em (-\infty,1), decrescente em (1,\infty).
  • Máximo: ponto de máximo em \big(1,\tfrac{1}{e}\big).
  • Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,2), côncava para cima em (2,\infty).
  • Ponto de inflexão: \big(2,\tfrac{2}{e^{2}}\big).
  • Limites: \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0^{+} (aproxima-se de y=0 por cima); \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty (vai para -\infty à esquerda).
Como desenhar (passo a passo): comece à esquerda com uma curva que vai para -\infty e sobe (côncava para baixo) chegando ao ponto (0,0) com tangente de inclinação 1. Continue subindo até o máximo em \big(1,\tfrac{1}{e}\big). Depois a curva desce, cruza a reta y= \tfrac{2}{e^{2}} em x=2 (ponto de inflexão) e continua decrescendo, aproximando-se da assíntota horizontal y=0 por cima quando x\to+\infty.
Dica prática para marcar valores numéricos:
  • \tfrac{1}{e}\approx 0{,}3679.
  • \tfrac{2}{e^{2}}\approx 0{,}2707.

Passo 8

Recapitulando de forma compacta (resumo final técnico).
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Interseções: único ponto (0,0).
  • Crescimento/decrescimento: crescente em (-\infty,1), decrescente em (1,\infty).
  • Máximo local (e global): em x=1 com f(1)=\tfrac{1}{e}. Não há mínimos locais.
  • Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,2), côncava para cima em (2,\infty).
  • Ponto de inflexão: em x=2 com f(2)=\tfrac{2}{e^{2}}.
  • Assíntotas: assíntota horizontal y=0 quando x\to+\infty; sem assíntotas verticais e sem assíntotas oblíquas.

Resposta

(a) Domínio: \mathbb{R}. Interseções: único ponto (0,0).
(b) Cresce em (-\infty,1), decresce em (1,\infty). Máximo local em \big(1,\tfrac{1}{e}\big). Não há mínimo local.
(c) Côncava para baixo em (-\infty,2), côncava para cima em (2,\infty). Ponto de inflexão em \big(2,\tfrac{2}{e^{2}}\big).
(d) Assíntota horizontal y=0 quando x\to+\infty. Sem assíntotas verticais e sem assíntotas oblíquas.
(e) Esboço: curva que vem de -\infty à esquerda, sobe (côncava para baixo), passa por (0,0) com inclinação 1, atinge máximo em \big(1,\tfrac{1}{e}\big), inflecte em \big(2,\tfrac{2}{e^{2}}\big) e decresce aproximando-se de y=0 por cima quando x\to+\infty.

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