Considere a função
e faça o que se pede em cada item a seguir.
a) Determine o domínio de
e as interseções de seu gráfico com os eixos.
b) Determine os intervalos de crescimento e descrescimento e os pontos de máximos e mínimos locais de
, caso existam.
c) Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e o(s) ponto(s) de inflexão de
, caso existam.
d) Determine as assíntotas ao gráfico de
, caso existam.
e) Esboce o gráfico de
.
a) Determine o domínio de
b) Determine os intervalos de crescimento e descrescimento e os pontos de máximos e mínimos locais de
c) Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e o(s) ponto(s) de inflexão de
d) Determine as assíntotas ao gráfico de
e) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, em cada item:
- (a) o domínio de
e as interseções do gráfico com os eixos; - (b) intervalos de crescimento/decrescimento e pontos de máximos/minimos locais;
- (c) intervalos de concavidade para cima/para baixo e ponto(s) de inflexão;
- (d) assíntotas do gráfico (se existirem);
- (e) um esboço do gráfico.
Informações relevantes dadas (já explícitas no enunciado):
- A função é dada por
. - Não há figura nem restrição adicional sobre
.
Passo 2
Domínio e interseções com os eixos.
Explicação (regra): o domínio de uma função racional ou exponencial composta normalmente é todos os
para os quais as expressões estão definidas. A função
está definida para todo
. Multiplicando por
não cria restrição.
- Domínio:
(todos os reais), pois tanto quanto são definidos para todo .
Interseções com os eixos:
- Interseção com o eixo
(valor em ): calcular .
Logo o ponto
é a interseção com o eixo
.
- Interseções com o eixo
(soluções de ): resolver . Como para todo , a única solução é . Portanto o único ponto de interseção é .
Passo 3
Derivada primeira: regras e cálculo.
Aula rápida (o que usar): para derivar um produto
usa-se a regra do produto:
. Para a exponencial
vale
. Aqui
, então
.
Aplicando à nossa função
:
- Tome
e . -
. -
.
Usando a regra do produto:
Fatorando
:
Passo 4
Crescimento/decrescimento e pontos críticos.
Conceito: a função cresce quando
e decresce quando
. Pontos críticos ocorrem onde
ou
não existe (aqui
existe em todo
).
Resolver
:
Como
sempre, a condição reduz-se a
, ou seja
. Esse é o único ponto crítico.
Análise do sinal de
:
-
para todo , então o sinal de é o sinal de . - Se
então e → é crescente em . - Se
então e → é decrescente em .
Tipo do ponto
: como
muda de positivo para negativo ao atravessar
,
é um ponto de máximo local. Calcular a ordenada:
Observação: esse máximo é também máximo global, pois à direita a função tende a
e à esquerda tende a
(ver limites depois), então
é o maior valor atingido.
Não existem pontos de mínimo local, porque não há outro ponto crítico onde o sinal de
faça mínimo.
Passo 5
Derivada segunda: regras e cálculo; concavidade e pontos de inflexão.
Regra/ideia: a concavidade é dada pelo sinal de
. Se
a curva é côncava para cima; se
côncava para baixo. Pontos de inflexão são pontos onde
com troca de sinal de
.
Calcular
a partir de
. Usar novamente regra do produto ou derivação direta:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo
Fatorando
:
Determinar pontos onde
:
Troca de sinal de
:
- Para
, e → → concavidade para baixo em . - Para
, → → concavidade para cima em .
Portanto
é ponto de inflexão. Ordenada correspondente:
Passo 6
Assíntotas: tipos e cálculo de limites.
Primeiro, assíntotas verticais: ocorrem onde a função diverge para
em um ponto do próprio eixo
devido a singularidade. Aqui a função está definida para todo
, sem singularidade finita, logo não há assíntotas verticais.
Assíntotas horizontais/oblíquas analisando limites em
.
Calcular limites:
- Limite em
:
Ideia: exponencial decai muito mais rápido que qualquer polinômio, então o produto tende a
. Formalmente pode-se usar que
cresce mais rápido que
, ou dividir por
e usar que
. Assim
Portanto existe a assíntota horizontal
quando
. Observação do sinal: para
a função é positiva, então aproxima-se de
por valores positivos.
- Limite em
:
Para
temos
e
. O produto é
e o termo exponencial domina, levando o produto para
. Logo
Portanto não há assíntota horizontal nem oblíqua à esquerda.
Sobre assíntota oblíqua (reta
quando
): para existir é necessário que o limite de
quando
seja finito (dá
). Verificação:
- Em
: , então e o termo . Isso corresponde à assíntota horizontal já identificada. - Em
: , não finito, logo não existe assíntota oblíqua nem horizontal à esquerda.
Resumo das assíntotas:
- Assíntota horizontal
quando . - Nenhuma assíntota vertical.
- Nenhuma assíntota oblíqua.
Passo 7
Esboço do gráfico: pontos e forma (instruções para desenhar no papel).
Pontos e características importantes para traçar:
- Domínio:
. - Intercepto:
. Tangente em tem declive , então passa pelo ponto com inclinação . - Crescimento/decrescimento: crescente em
, decrescente em . - Máximo: ponto de máximo em
. - Concavidade: côncava para baixo em
, côncava para cima em . - Ponto de inflexão:
. - Limites:
(aproxima-se de por cima); (vai para à esquerda).
Como desenhar (passo a passo): comece à esquerda com uma curva que vai para
e sobe (côncava para baixo) chegando ao ponto
com tangente de inclinação
. Continue subindo até o máximo em
. Depois a curva desce, cruza a reta
em
(ponto de inflexão) e continua decrescendo, aproximando-se da assíntota horizontal
por cima quando
.
Dica prática para marcar valores numéricos:
-
. -
.
Passo 8
Recapitulando de forma compacta (resumo final técnico).
- Domínio:
. - Interseções: único ponto
. - Crescimento/decrescimento: crescente em
, decrescente em . - Máximo local (e global): em
com . Não há mínimos locais. - Concavidade: côncava para baixo em
, côncava para cima em . - Ponto de inflexão: em
com . - Assíntotas: assíntota horizontal
quando ; sem assíntotas verticais e sem assíntotas oblíquas.
Resposta
(a) Domínio:
. Interseções: único ponto
.
(b) Cresce em , decresce em
. Máximo local em
. Não há mínimo local.
(c) Côncava para baixo em , côncava para cima em
. Ponto de inflexão em
.
(d) Assíntota horizontal quando
. Sem assíntotas verticais e sem assíntotas oblíquas.
(e) Esboço: curva que vem de à esquerda, sobe (côncava para baixo), passa por
com inclinação
, atinge máximo em
, inflecte em
e decresce aproximando-se de
por cima quando
.
(b) Cresce em
(c) Côncava para baixo em
(d) Assíntota horizontal
(e) Esboço: curva que vem de