Considere a função f(x) definida por f(x) = { a/x * sen(2x) + (x + 1) * b, se x < 0; a * (x² + 1) + 3 * b, se x ≥ 0 }. Encontre, se possível, uma relação entre as constantes a e b de tal forma que a função f(x) seja contínua em 0 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de expressão dependendo de x ser menor ou maior que zero. A tarefa é encontrar uma relação entre as constantes e para que a função seja contínua em . Isso significa que não pode ter “saltos” ou “quebras” na função nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de zero pela esquerda, ou seja, quando . A expressão da função nesse caso é:
Para encontrar o limite, observamos cada parte:
  1. : Sabemos que . Então, essa parte fica .
  2. : Quando se aproxima de 0, se aproxima de 1. Então, essa parte fica .
Somando as duas partes:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de zero pela direita, ou seja, quando . A expressão da função nesse caso é:
Substituindo :
Então:

Passo 4

Para a função ser contínua em , os limites pela esquerda e pela direita precisam ser iguais. Portanto, igualamos os dois resultados:
Resolvendo para :

Resposta

A relação entre as constantes é .

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