Considere a função
definida por
. Encontre, se possível, uma relação entre as constantes
e
de tal forma que a função
seja contínua em 0 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de expressão dependendo de x ser menor ou maior que zero. A tarefa é encontrar uma relação entre as constantes
e
para que a função seja contínua em
. Isso significa que não pode ter “saltos” ou “quebras” na função nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de zero pela esquerda, ou seja, quando
. A expressão da função nesse caso é:
Para encontrar o limite, observamos cada parte:
-
: Sabemos que . Então, essa parte fica . -
: Quando se aproxima de 0, se aproxima de 1. Então, essa parte fica .
Somando as duas partes:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de zero pela direita, ou seja, quando
. A expressão da função nesse caso é:
Substituindo
:
Então:
Passo 4
Para a função ser contínua em
, os limites pela esquerda e pela direita precisam ser iguais. Portanto, igualamos os dois resultados:
Resolvendo para
:
Resposta
A relação entre as constantes é
.