Sejam f(x)=raiz[3]ln (2 x-1+|1-x|) e g(x)=e^x^3.
(a) Determine o domínio da função f.
(b) Estude a continuidade da função h(x), sabendo que
h(x)=l g(f(x)) , se x in D f 0, se x=0 sin (2 x)x-2, se x in R^*-D f
Caso a função h não seja contínua em todos os pontos, classifique a(s) descontinuidade(s).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve determinar o domínio da função e estudar a continuidade de uma função definida de forma diferente em vários intervalos. Para isso, vamos precisar entender conceitos de domínio de funções, propriedades de logaritmos, valores absolutos e continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.

Passo 3

Analisando a função , precisamos garantir que a expressão dentro da raiz cúbica e do logaritmo esteja definida.

Passo 4

A função logaritmo natural, 2x - 1 + |1 - x| > 0 , está definida apenas para . Portanto, precisamos que:

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade |1 - x| = 1 - x . Existem duas possibilidades para o valor absoluto:
  1. Quando 2x - 1 + (1 - x) > 0 (ou seja, x > 0 ):
    |1 - x| = x - 1
    Substituindo na desigualdade:
    2x - 1 + (x - 1) > 0
    3x - 2 > 0
  2. Quando x > 23 (ou seja, ):
    Substituindo na desigualdade:

Passo 6

Combinando as soluções das duas situações:
  • Para ,
  • Para , (que já é verdade se )
Portanto, o domínio de é .

Passo 7

Agora, vamos estudar a continuidade da função h(x) = g(f(x)), & se x in Df 0, & se x = 0 sin(2x)x - 2, & se x in R^* - Df , definida por:
Sabemos que .

Passo 8

Primeiro, analisamos cada caso de h(x) = g(f(x)) :
  1. Quando h(x) = 0 (ou seja, h(x) = sin(2x)x - 2 ):
    Como , e está definida para , está definida nesse intervalo.
  2. Quando :
    É um ponto isolado.
  3. Quando (ou seja, ):
    Aqui, significa todos os reais exceto zero, mas já tratamos separadamente.

Passo 9

Vamos verificar a continuidade em cada parte:
  1. Para :
    é contínua em seu domínio, e também é contínua para todo . A composição de funções contínuas é contínua, então é contínua em .
  2. Para :
    A função é composta por funções contínuas em , portanto, é contínua para .
  3. No ponto :
    Precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de 0 existe e é igual a .

Passo 10

Calculando o limite quando limx to 0 h(x) = limx to 0 ( sin(2x)x - 2 ) se aproxima de 0:
limx to 0 h(x) = 2 - 2 = 0
Sabemos que , então:
Isso coincide com .

Passo 11

Concluímos que a função é contínua em todos os pontos onde está definida, incluindo .

Resposta

(a) O domínio da função é .
(b) A função é contínua em todos os pontos do seu dom��nio.

Exercícios relacionados