Sejam e .
(a) Determine o domínio da função .
(b) Estude a continuidade da função , sabendo que
Caso a função h não seja contínua em todos os pontos, classifique a(s) descontinuidade(s).
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve determinar o domínio da função e estudar a continuidade de uma função definida de forma diferente em vários intervalos. Para isso, vamos precisar entender conceitos de domínio de funções, propriedades de logaritmos, valores absolutos e continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Passo 3
Analisando a função , precisamos garantir que a expressão dentro da raiz cúbica e do logaritmo esteja definida.
Passo 4
A função logaritmo natural, 2x - 1 + |1 - x| > 0 , está definida apenas para . Portanto, precisamos que:
Passo 5
Vamos resolver a desigualdade |1 - x| = 1 - x . Existem duas possibilidades para o valor absoluto:
Quando 2x - 1 + (1 - x) > 0 (ou seja, x > 0 ):
|1 - x| = x - 1
Substituindo na desigualdade:
2x - 1 + (x - 1) > 0
3x - 2 > 0
Quando x > 23 (ou seja, ):
Substituindo na desigualdade:
Passo 6
Combinando as soluções das duas situações:
Para ,
Para , (que já é verdade se )
Portanto, o domínio de é .
Passo 7
Agora, vamos estudar a continuidade da função h(x) = g(f(x)), & se x in Df 0, & se x = 0 sin(2x)x - 2, & se x in R^* - Df , definida por:
Sabemos que .
Passo 8
Primeiro, analisamos cada caso de h(x) = g(f(x)) :
Quando h(x) = 0 (ou seja, h(x) = sin(2x)x - 2 ):
Como , e está definida para , está definida nesse intervalo.
Quando :
É um ponto isolado.
Quando (ou seja, ):
Aqui, significa todos os reais exceto zero, mas já tratamos separadamente.
Passo 9
Vamos verificar a continuidade em cada parte:
Para : é contínua em seu domínio, e também é contínua para todo . A composição de funções contínuas é contínua, então é contínua em .
Para :
A função é composta por funções contínuas em , portanto, é contínua para .
No ponto :
Precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de 0 existe e é igual a .
Passo 10
Calculando o limite quando limx to 0 h(x) = limx to 0 ( sin(2x)x - 2 ) se aproxima de 0:
limx to 0 h(x) = 2 - 2 = 0
Sabemos que , então:
Isso coincide com .
Passo 11
Concluímos que a função é contínua em todos os pontos onde está definida, incluindo .
Resposta
(a) O domínio da função é .
(b) A função é contínua em todos os pontos do seu dom��nio.