Dados lim x a f(x)=2, lim x a g(x)=-4 e lim x a h(x)=0. Obtenha os limites abaixo justificando seu raciocínio usando as propriedades de limites.
(a) lim x a[f(x)+2 g(x)]
© lim x a[g(x)]^2
(e) lim x a 7 g(x)2 f(x)+g(x)
(b) lim x a[h(x)-3 g(x)+1]
(d) lim x a raiz[3]6+f(x)
(f) lim x a 3 f(x)-8 g(x)h(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem alguns limites de funções quando se aproxima de . Especificamente:
Nosso objetivo é calcular os limites das seguintes expressões usando as propriedades dos limites. Vamos precisar entender como lidar com somas, multiplicações, potências, raízes e frações envolvendo limites.

Passo 2

(a) lim [f(x) + 2g(x)] = lim f(x) + 2 cdot lim g(x) = 2 + 2 cdot (-4) = 2 - 8 = -6

O que vamos usar: A propriedade da soma de limites e a propriedade de limites de constantes multiplicadas por funções.
Resolução:
  1. Sabemos que e .
  2. A propriedade da soma diz que .
  3. Aplicando isso:

Passo 3

(b) lim [h(x) - 3g(x) + 1] = lim h(x) - 3 cdot lim g(x) + lim 1 = 0 - 3 cdot (-4) + 1 = 0 + 12 + 1 = 13

O que vamos usar: Propriedade da soma e constante, e que o limite de uma constante é a própria constante.
Resolução:
  1. Sabemos que e .
  2. A constante 1 tem limite 1.
  3. Aplicando a propriedade da soma:

Passo 4

© lim [g(x)]^2 = ( lim g(x) )^2 = (-4)^2 = 16

O que vamos usar: Propriedade de limites de potências.
Resolução:
  1. Sabemos que .
  2. Quando elevamos uma função ao quadrado, o limite é o quadrado do limite:

Passo 5

(d) lim [6 + f(x)] = 6 + lim f(x) = 6 + 2 = 8

O que vamos usar: Propriedade da função composta continuas.
Resolução:
  1. Sabemos que lim raiz[3]6 + f(x) = raiz[3]lim [6 + f(x)] = raiz[3]8 = 2 .
  2. Primeiro, calculamos o limite dentro da raiz:
  3. A raiz cúbica é uma função contínua, então:

Passo 6

(e) lim [7g(x)] = 7 cdot lim g(x) = 7 cdot (-4) = -28

O que vamos usar: Propriedade de limites de quocientes, desde que o denominador não seja zero.
Resolução:
  1. Sabemos que lim [2f(x) + g(x)] = 2 cdot lim f(x) + lim g(x) = 2 cdot 2 + (-4) = 4 - 4 = 0 e .
  2. Calculamos o numerador e o denominador:
  3. O denominador é zero, então precisamos verificar se o numerador também é zero para aplicar a regra especial. Neste caso, o numerador é -28 (não zero) e o denominador é 0, o que indica que o limite tende ao infinito ou menos infinito.
  4. Observando o sinal:
    • O numerador é negativo.
    • O denominador tende a zero de forma que tende a 0.
    • Para determinar o sinal, precisaríamos saber o comportamento de e perto de , mas dado que tende a -4 e a 2, podemos simplificar que o denominador está se aproximando de 0 a partir de 0.
  5. Assim, o limite tende a .

Passo 7

(f) lim [3f(x) - 8g(x)] = 3 cdot lim f(x) - 8 cdot lim g(x) = 3 cdot 2 - 8 cdot (-4) = 6 + 32 = 38

O que vamos usar: Propriedade de limites de quocientes, e cuidado especial quando o denominador tende a zero.
Resolução:
  1. Sabemos que , e .
  2. Calculamos o numerador:
  3. O denominador tende a 0.
  4. Como o numerador é diferente de zero e o denominador tende a 0, o limite tende a ou .
  5. Observando os sinais:
    • O numerador é positivo (38).
    • O denominador está tendendo a 0, mas precisamos saber de que lado. Como tende a 0 sem especificar o lado, podemos concluir que o limite tende a .

Resposta

(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)

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