Dados
e
. Obtenha os limites abaixo justificando seu raciocínio usando as propriedades de limites.
(a)
©
(e)
(b)
(d)
(f)
(a)
©
(e)
(b)
(d)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem alguns limites de funções quando
se aproxima de
. Especificamente:
Nosso objetivo é calcular os limites das seguintes expressões usando as propriedades dos limites. Vamos precisar entender como lidar com somas, multiplicações, potências, raízes e frações envolvendo limites.
Passo 2
(a)
O que vamos usar: A propriedade da soma de limites e a propriedade de limites de constantes multiplicadas por funções.
Resolução:
- Sabemos que
e . - A propriedade da soma diz que
. - Aplicando isso:
Passo 3
(b)
O que vamos usar: Propriedade da soma e constante, e que o limite de uma constante é a própria constante.
Resolução:
- Sabemos que
e . - A constante 1 tem limite 1.
- Aplicando a propriedade da soma:
Passo 4
©
O que vamos usar: Propriedade de limites de potências.
Resolução:
- Sabemos que
. - Quando elevamos uma função ao quadrado, o limite é o quadrado do limite:
Passo 5
(d)
O que vamos usar: Propriedade da função composta continuas.
Resolução:
- Sabemos que
. - Primeiro, calculamos o limite dentro da raiz:
- A raiz cúbica é uma função contínua, então:
Passo 6
(e)
O que vamos usar: Propriedade de limites de quocientes, desde que o denominador não seja zero.
Resolução:
- Sabemos que
e . - Calculamos o numerador e o denominador:
- O denominador é zero, então precisamos verificar se o numerador também é zero para aplicar a regra especial. Neste caso, o numerador é -28 (não zero) e o denominador é 0, o que indica que o limite tende ao infinito ou menos infinito.
- Observando o sinal:
- O numerador é negativo.
- O denominador tende a zero de forma que
tende a 0. - Para determinar o sinal, precisaríamos saber o comportamento de
e perto de , mas dado que tende a -4 e a 2, podemos simplificar que o denominador está se aproximando de 0 a partir de 0.
- Assim, o limite tende a
.
Passo 7
(f)
O que vamos usar: Propriedade de limites de quocientes, e cuidado especial quando o denominador tende a zero.
Resolução:
- Sabemos que
, e . - Calculamos o numerador:
- O denominador tende a 0.
- Como o numerador é diferente de zero e o denominador tende a 0, o limite tende a
ou . - Observando os sinais:
- O numerador é positivo (38).
- O denominador está tendendo a 0, mas precisamos saber de que lado. Como
tende a 0 sem especificar o lado, podemos concluir que o limite tende a .
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)