Considere as funções g e h definidas por g(x) = x^2 - 2, para todo x em R, e h(x) = { 2*x^2/|x|, se x != 0; a + 1, se x = 0 }.
(a) Determine f(x) = (g o h)(x).
(b) Determine o valor de a para que a função f(x) seja contínua em x = 0.

Passo 1

Vamos lá! Temos duas funções definidas: e , que é uma função por partes. A nossa missão é primeiro encontrar a função composta e depois determinar o valor de que faz com que seja contínua em . Para isso, precisamos entender como compor funções e trabalhar com continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que vamos substituir na função . Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos substituir a expressão de na fórmula de . Temos que:
Portanto, para :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão para . Note que , então:
Mas como vamos elevar ao quadrado, a parte do sinal não importa:

Passo 5

Para , usamos a outra parte da definição de :

Passo 6

Agora, temos a função composta completa:
Isso responde à parte (a) do exercício.

Passo 7

Para a parte (b), precisamos que seja contínua em . Isso significa que o limite de quando se aproxima de 0 deve ser igual a .

Passo 8

Calculamos o limite de quando tende a 0:
Agora, igualamos esse limite a :

Passo 9

Resolvendo a equação:

Resposta

(a) A função composta é
(b) O valor de para que seja contínua em é .

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