Considere as funções e definidas por , para todo , e .
(a) Determine .
(b) Determine o valor de para que a função seja contínua em .
Passo 1
Vamos lá! Temos duas funções definidas: e , que é uma função por partes. A nossa missão é primeiro encontrar a função composta e depois determinar o valor de que faz com que seja contínua em . Para isso, precisamos entender como compor funções e trabalhar com continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que vamos substituir na função . Ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos substituir a expressão de na fórmula de . Temos que:
Portanto, para :
Passo 4
Vamos simplificar a expressão para . Note que , então:
Mas como vamos elevar ao quadrado, a parte do sinal não importa:
Passo 5
Para , usamos a outra parte da definição de :
Passo 6
Agora, temos a função composta completa:
Isso responde à parte (a) do exercício.
Passo 7
Para a parte (b), precisamos que seja contínua em . Isso significa que o limite de quando se aproxima de 0 deve ser igual a .