Temos que
-
para todo
-
para todo
Use o Teorema do confronto para provar que
.
Use o Teorema do confronto para provar que
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede e quais conceitos vamos usar. Precisamos provar que o limite de
quando
tende a 0 é igual a 1. Para isso, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Siclo) e as desigualdades fornecidas envolvendo as funções seno e tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as desigualdades que temos para
próximo de 0:
- Para
no intervalo : - Para
no intervalo :
Essas desigualdades vão nos ajudar a “prender” a função
entre duas funções mais fáceis de lidar.
Passo 3
Vamos focar no intervalo
primeiro. Dividindo todas as partes da desigualdade por
(que é positiva nesse intervalo), temos:
Sabemos que
, então:
Portanto, a desigualdade fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular os limites das funções que estão nas extremidades da desigualdade quando
tende a 0:
-
-
Então, temos:
Pelo Teorema do Confronto, se uma função está entre duas funções que têm o mesmo limite, então o limite dessa função também é o mesmo.
Resposta
Portanto, pelo Teorema do Confronto, concluímos que: