Temos que
  • sin (x) <= x <= tan (x) para todo x in[0, pi2)
  • tan (x) <= x <= sin (x) para todo x in(-pi2, 0]
    Use o Teorema do confronto para provar que lim x 0 xsin (x)=1.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e quais conceitos vamos usar. Precisamos provar que o limite de quando tende a 0 é igual a 1. Para isso, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Siclo) e as desigualdades fornecidas envolvendo as funções seno e tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as desigualdades que temos para sin(x) <= x <= tan(x) próximo de 0:
  • Para tan(x) <= x <= sin(x) no intervalo :
  • Para no intervalo :
Essas desigualdades vão nos ajudar a “prender” a função entre duas funções mais fáceis de lidar.

Passo 3

Vamos focar no intervalo 1 <= xsin(x) <= tan(x)sin(x) primeiro. Dividindo todas as partes da desigualdade por tan(x)sin(x) = sin(x)cos(x)sin(x) = 1cos(x) (que é positiva nesse intervalo), temos:
1 <= xsin(x) <= 1cos(x)
Sabemos que , então:
Portanto, a desigualdade fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites das funções que estão nas extremidades da desigualdade quando 1 <= limx to 0 xsin(x) <= 1 tende a 0:

  • Então, temos:
Pelo Teorema do Confronto, se uma função está entre duas funções que têm o mesmo limite, então o limite dessa função também é o mesmo.

Resposta

Portanto, pelo Teorema do Confronto, concluímos que:
limx 0 xsin(x) = 1

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