Considere a função f(x)=x^3, definida para x in[-1,1].
Calcule a área da região limitada pelo gráfico da função f e o eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = x^{3} $ definida no intervalo de $ x $ entre f(x) = x^3 e x . O objetivo é descobrir a área da região que está entre o gráfico dessa função e o eixo $ x $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, que ajuda a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que queremos dizer com a área entre a curva $ f(x) = x^{3} $ e o eixo $ x $. Essa área pode ser calculada usando a integral definida da função no intervalo dado. Mas atenção: como a função pode estar acima ou abaixo do eixo $ x $, precisamos considerar o valor absoluto para garantir que estamos calculando áreas positivas.

Passo 3

Vamos observar o comportamento da função $ f(x) = x^{3} $ no intervalo de f(x) = x^3 a -1:
  • Para $ x $ entre 1 e x , $ x^{3} $ é negativo.
  • Para $ x $ entre -1 e 0, $ x^{3} $ é positivo.
Isso significa que a área abaixo do eixo $ x $ (quando $ x $ é negativo) terá um valor negativo, mas como estamos interessados na área em si, vamos considerar o valor absoluto dessas áreas.

Passo 4

Como a função $ x^{3} $ é uma função ímpar (ou seja, $ f(-x) = -f(x) $), a área de x^3 a f(-x) = -f(x) será igual em magnitude à área de -1 a 0. Portanto, podemos calcular a área de um lado e depois dobrar o resultado para obter a área total.

Passo 5

Vamos calcular a integral de $ f(x) = x^{3} $ de f(x) = x^3 a 0:
1
Para resolver essa integral, usamos a regra de potência da integração:
integral0^1 x^3 , dx
Aplicando isso à nossa integral:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C

Passo 6

Como a área de -1 a 0 é igual em magnitude à de 0 a 1, multiplicamos o resultado por 2 para obter a área total:
Área total = 2 times 14 = 12 Á

Resposta

A área da região limitada pelo gráfico da função $ f(x) = x^{3} $ e o eixo $ x $ no intervalo de f(x) = x^3 a x é $ \frac{1}{2} $ unidades quadradas.

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