Considere a função
, definida para
.
Calcule a área da região limitada pelo gráfico da função
e o eixo
.
Calcule a área da região limitada pelo gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = x^{3} $ definida no intervalo de $ x $ entre
e
. O objetivo é descobrir a área da região que está entre o gráfico dessa função e o eixo $ x $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, que ajuda a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que queremos dizer com a área entre a curva $ f(x) = x^{3} $ e o eixo $ x $. Essa área pode ser calculada usando a integral definida da função no intervalo dado. Mas atenção: como a função pode estar acima ou abaixo do eixo $ x $, precisamos considerar o valor absoluto para garantir que estamos calculando áreas positivas.
Passo 3
Vamos observar o comportamento da função $ f(x) = x^{3} $ no intervalo de
a
:
- Para $ x $ entre
e , $ x^{3} $ é negativo. - Para $ x $ entre
e , $ x^{3} $ é positivo.
Isso significa que a área abaixo do eixo $ x $ (quando $ x $ é negativo) terá um valor negativo, mas como estamos interessados na área em si, vamos considerar o valor absoluto dessas áreas.
Passo 4
Como a função $ x^{3} $ é uma função ímpar (ou seja, $ f(-x) = -f(x) $), a área de
a
será igual em magnitude à área de
a
. Portanto, podemos calcular a área de um lado e depois dobrar o resultado para obter a área total.
Passo 5
Vamos calcular a integral de $ f(x) = x^{3} $ de
a
:
Para resolver essa integral, usamos a regra de potência da integração:
Aplicando isso à nossa integral:
Passo 6
Como a área de
a
é igual em magnitude à de
a
, multiplicamos o resultado por
para obter a área total:
Resposta
A área da região limitada pelo gráfico da função $ f(x) = x^{3} $ e o eixo $ x $ no intervalo de
a
é $ \frac{1}{2} $ unidades quadradas.