Considere a função
e suas derivadas primeira e segunda dadas por
e
. Determine:
os valores mínimo e máximo absolutos de
, caso existam, justificando sua resposta.
os valores mínimo e máximo absolutos de
Passo 1
Temos a função
com domínio
. Nos dão também
Para achar extremos absolutos em
vamos:
- determinar os pontos críticos resolvendo
; - usar
para classificar cada ponto; - comparar com o comportamento de
nos extremos do domínio .
Passo 2
Resolvendo
:
Como
para todo
, segue
.
Logo o único ponto crítico é
Logo o único ponto crítico é
Passo 3
Classificamos
usando a segunda derivada:
Como
, a função é côncava para cima em
e, portanto,
é um ponto de mínimo local.
O valor aí é
O valor aí é
Passo 4
Analisamos os limites nos extremos do domínio:
Vemos que
, então o mínimo local em
é também mínimo absoluto. Como
quando
, não há máximo absoluto.
Resposta
O valor mínimo absoluto é
em
.
Não existe valor máximo absoluto.
Não existe valor máximo absoluto.