Considere a função f(x)=(x-2) e^{x} e suas derivadas primeira e segunda dadas por f^{\prime}(x)=(x-1)e^x e f^{\prime \prime}(x)=x e^{x}. Determine:
os valores mínimo e máximo absolutos de f, caso existam, justificando sua resposta.

Passo 1

Temos a função
f(x) = (x-2)e^x
com domínio \mathbb{R}. Nos dão também
f'(x) = (x-1)e^x, \quad f''(x) = x e^x.
Para achar extremos absolutos em \mathbb{R} vamos:
  1. determinar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0;
  2. usar f'' para classificar cada ponto;
  3. comparar com o comportamento de \,f nos extremos do domínio x\to\pm\infty.

Passo 2

Resolvendo f'(x)=0:
(x-1)e^x = 0.
Como e^x>0 para todo x, segue x-1=0.
Logo o único ponto crítico é x=1.

Passo 3

Classificamos x=1 usando a segunda derivada:
f''(1) = 1\cdot e^1 = e > 0.
Como f''(1)>0, a função é côncava para cima em x=1 e, portanto, x=1 é um ponto de mínimo local.
O valor aí é
f(1) = (1-2)e^1 = -e.

Passo 4

Analisamos os limites nos extremos do domínio:
\lim_{x\to-\infty}f(x) = \lim_{x\to-\infty}(x-2)e^x = 0^{-}, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x) = +\infty.
Vemos que -e < 0, então o mínimo local em x=1 é também mínimo absoluto. Como f(x)\to+\infty quando x\to+\infty, não há máximo absoluto.

Resposta

O valor mínimo absoluto é \,f(1)=-e em x=1.
Não existe valor máximo absoluto.

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