Calcule as integrais:
\int_{0}^{2} x . e^{5 x} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2} x\,e^{5x}\,\mathrm{d}x.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, que usaremos para encontrar uma primitiva de x\,e^{5x}.

Passo 2

Lembrando a fórmula de integração por partes:
\int u\,\mathrm{d}v = u\,v - \int v\,\mathrm{d}u,
escolhemos
u = x,\quad \mathrm{d}v = e^{5x}\,\mathrm{d}x.
Então
\mathrm{d}u = \mathrm{d}x,\quad v = \int e^{5x}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{5}e^{5x}.

Passo 3

Aplicando a fórmula, obtemos a primitiva de x\,e^{5x}:
\int x\,e^{5x}\,\mathrm{d}x = x\cdot\frac{1}{5}e^{5x} - \int \frac{1}{5}e^{5x}\,\mathrm{d}x = \frac{x}{5}e^{5x} - \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{5}e^{5x} = \frac{x}{5}e^{5x} - \frac{1}{25}e^{5x} + C.

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a 2:
\left[\frac{x}{5}e^{5x} - \frac{1}{25}e^{5x}\right]_{0}^{2} = \biggl(\frac{2}{5}e^{10}-\frac{1}{25}e^{10}\biggr) - \biggl(\frac{0}{5}e^{0}-\frac{1}{25}e^{0}\biggr).
No numerador do primeiro termo fica \tfrac{2}{5}-\tfrac{1}{25}=\tfrac{10-1}{25}=\tfrac{9}{25}, e o segundo termo é -(-\tfrac{1}{25})=+\tfrac{1}{25}. Logo o valor da integral é
\frac{9}{25}e^{10} + \frac{1}{25}.

Resposta

\int_{0}^{2} x\,e^{5x}\,\mathrm{d}x = \frac{9e^{10} + 1}{25}.

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