Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{x \cdot \cos x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)}{x\cdot\cos x}.
O conteúdo principal aqui é o cálculo de limite de forma indeterminada 0/0, usando o limite notável
\lim_{u\to0}\frac{\operatorname{sen} u}{u}=1
e a continuidade de \cos x em x=0.

Passo 2

Verificamos a forma quando x\to0:
\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)\to\sen0=0 \quad\text{e}\quad x\cdot\cos x\to0\cdot1=0,
logo temos a indeterminação 0/0.

Passo 3

Para usar o limite notável, reescrevemos a expressão como produto de dois fatores:
\frac{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)}{x\cdot\cos x} = \frac{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)}{x^{2}} \;\times\; \frac{x^{2}}{x\cdot\cos x} = \frac{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)}{x^{2}} \;\times\; \frac{x}{\cos x}.

Passo 4

Agora avaliamos o limite de cada fator separadamente:
  1. Pelo limite notável com u=x^{2},
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)}{x^{2}}=1.
  1. Como \cos x é contínua e \cos0=1,
\lim_{x\to0}\frac{x}{\cos x} =\frac{\lim_{x\to0}x}{\lim_{x\to0}\cos x} =\frac{0}{1}=0.

Passo 5

O limite do produto é o produto dos limites:
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)}{x\cos x} = 1\times0=0.

Resposta

0

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