Resolver todas às questões.
Resolver usando o método de Gauss.
\left[\begin{array}{l} x+2 y+3 z+5 w=11 \\\\ 2 x+3 y+5 z+7 w=18 \\\\ 3 x+2 y+5 z+7 w=21 \\\\ 5 x+3 y+2 z+w=6 \end{array}\right.

Passo 1

O que o exercício pede: resolver o sistema linear e encontrar os valores de x, y, z e w.
As equações dadas são:
\begin{cases} x+2y+3z+5w=11,\\[4pt] 2x+3y+5z+7w=18,\\[4pt] 3x+2y+5z+7w=21,\\[4pt] 5x+3y+2z+w=6. \end{cases}
Informações relevantes: são quatro equações lineares com quatro incógnitas; podemos organizar isso numa matriz aumentada e aplicar operações elementares sobre linhas para triangularizar (eliminar variáveis) até obter a solução.]

Passo 2

Montamos a matriz aumentada inicial. Aqui eu coloco as colunas das incógnitas x,y,z,w e a última coluna é o vetor dos termos constantes:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 5 & 11\\[4pt] 2 & 3 & 5 & 7 & 18\\[4pt] 3 & 2 & 5 & 7 & 21\\[4pt] 5 & 3 & 2 & 1 & 6 \end{array}\right].
Explicação rápida das operações elementares que vou usar (passo a passo): posso trocar linhas, multiplicar uma linha por um número não nulo, ou somar a uma linha um múltiplo de outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema.]

Passo 3

Usamos a primeira linha como pivô para eliminar x nas linhas 2, 3 e 4.
As operações são:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 5R_1.
Calculemos cada nova linha:
  • R_2: [2,3,5,7|18] - 2\cdot[1,2,3,5|11] = [0,-1,-1,-3|-4].
  • R_3: [3,2,5,7|21] - 3\cdot[1,2,3,5|11] = [0,-4,-4,-8|-12].
  • R_4: [5,3,2,1|6] - 5\cdot[1,2,3,5|11] = [0,-7,-13,-24|-49].
A matriz resultante é:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 5 & 11\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -3 & -4\\[4pt] 0 & -4 & -4 & -8 & -12\\[4pt] 0 & -7 & -13 & -24 & -49 \end{array}\right].]

Passo 4

Para facilitar, multiplicamos a segunda linha por -1 (isso torna o pivô igual a 1):
R_2 \leftarrow -R_2 = [0,1,1,3|4].
Agora usamos R_2 para zerar as entradas na coluna y nas linhas 3 e 4.
As operações:
R_3 \leftarrow R_3 + 4R_2,\qquad R_4 \leftarrow R_4 + 7R_2.
Cálculos:
  • R_3: [0,-4,-4,-8|-12] + 4\cdot[0,1,1,3|4] = [0,0,0,4|4].
  • R_4: [0,-7,-13,-24|-49] + 7\cdot[0,1,1,3|4] = [0,0,-6,-3|-21].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 5 & 11\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 3 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 4 & 4\\[4pt] 0 & 0 & -6 & -3 & -21 \end{array}\right].]

Passo 5

Queremos um pivô na coluna z na terceira linha. A linha 3 tem zero em z mas a linha 4 tem -6. Então trocamos R_3 e R_4:
R_3 \leftrightarrow R_4.
Agora:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 5 & 11\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 3 & 4\\[4pt] 0 & 0 & -6 & -3 & -21\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 4 & 4 \end{array}\right].]

Passo 6

Normalizamos o pivô da terceira linha dividindo por -6 para obter 1 na posição de z:
R_3 \leftarrow -\tfrac{1}{6} R_3 = [0,0,1,\tfrac{1}{2},\tfrac{7}{2}].
Explicação: dividir uma linha por um número não nulo é uma operação permitida; aqui transformamos -6 em 1.
Agora eliminamos as entradas de z nas linhas 1 e 2 usando R_3:
R_1 \leftarrow R_1 - 3R_3,\qquad R_2 \leftarrow R_2 - R_3.
Cálculos:
  • R_1: [1,2,3,5|11] - 3\cdot[0,0,1,\tfrac{1}{2},\tfrac{7}{2}] = [1,2,0,\tfrac{7}{2},\tfrac{1}{2}] porque 5 - 3\cdot\frac{1}{2} = \frac{7}{2} e 11 - 3\cdot\frac{7}{2} = \frac{1}{2}.
  • R_2: [0,1,1,3|4] - [0,0,1,\tfrac{1}{2},\tfrac{7}{2}] = [0,1,0,\tfrac{5}{2},\tfrac{1}{2}].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 0 & \tfrac{7}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{5}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{7}{2}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 4 & 4 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora a quarta linha tem um pivô óbvio na coluna w. Normalizamos R_4 dividindo por 4:
R_4 \leftarrow \tfrac{1}{4}R_4 = [0,0,0,1,1].
Em seguida eliminamos as entradas acima na coluna w usando R_4:
R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{7}{2}R_4,\qquad R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{5}{2}R_4,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{1}{2}R_4.
Cálculos:
  • R_1: [1,2,0,\tfrac{7}{2},\tfrac{1}{2}] - \tfrac{7}{2}\cdot[0,0,0,1,1] = [1,2,0,0,-3] pois \tfrac{1}{2} - \tfrac{7}{2} = -3.
  • R_2: [0,1,0,\tfrac{5}{2},\tfrac{1}{2}] - \tfrac{5}{2}\cdot[0,0,0,1,1] = [0,1,0,0,-2] pois \tfrac{1}{2} - \tfrac{5}{2} = -2.
  • R_3: [0,0,1,\tfrac{1}{2},\tfrac{7}{2}] - \tfrac{1}{2}\cdot[0,0,0,1,1] = [0,0,1,0,3] pois \tfrac{7}{2} - \tfrac{1}{2} = 3.
A matriz agora é:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 0 & 0 & -3\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 0 & -2\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 3\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 8

Último passo: eliminar a entrada 2 na posição (1,2) usando R_2:
R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
Cálculo:
  • R_1: [1,2,0,0,-3] - 2\cdot[0,1,0,0,-2] = [1,0,0,0,1] porque -3 - 2\cdot(-2) = -3 +4 = 1.
Agora a matriz está na forma reduzida por linhas, o que nos dá imediatamente as soluções:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 0 & -2\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 3\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 9

Interpretação final: cada linha corresponde a uma variável isolada, portanto
x = 1,\quad y = -2,\quad z = 3,\quad w = 1.

Resposta

x=1\
y=-2\
z=3\
w=1

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