Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
t) f(x)=\frac{\left(2 x^{2}+1\right)^{x} \cdot e^{x^{3}+2 x} \cdot\left(x^{4}+3\right)}{\left(x^{2}+5 x+2\right)^{2} \cdot e^{x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{\left(2 x^{2}+1\right)^{x}\cdot e^{x^{3}+2 x}\cdot\left(x^{4}+3\right)}{\left(x^{2}+5 x+2\right)^{2}\cdot e^{x^{2}}}.
Informações dadas (explicitadas para não nos perder):
\text{numerador: }\;(2x^{2}+1)^{x}\cdot e^{x^{3}+2x}\cdot(x^{4}+3),
\text{denominador: }\;(x^{2}+5x+2)^{2}\cdot e^{x^{2}}.
A tarefa é: calcular f'(x).

Passo 2

Ideia da técnica (explicação didática e curta): quando uma função é produto/quociente de potências e exponenciais, é muito prático tomar o logaritmo natural e derivar. Isso transforma produtos em somas e potências em coeficientes, simplificando as contas. Importante: ao tomar \ln usamos a regra
\frac{d}{dx}\big(\ln(f(x))\big)=\frac{f'(x)}{f(x)},
ou seja, depois de calcular \frac{d}{dx}\ln(f(x)) recuperamos f'(x) por
f'(x)=f(x)\cdot\frac{d}{dx}\big(\ln(f(x))\big).
Aqui vou aplicar essa técnica passo a passo. Fica tranquilo: vou explicar cada derivada que aparecer.

Passo 3

Tomamos logaritmo natural de f(x) e usamos propriedades de log:
\ln(f(x)) = \ln\big((2x^{2}+1)^{x}\big) + \ln\big(e^{x^{3}+2x}\big) + \ln(x^{4}+3) - \ln\big((x^{2}+5x+2)^{2}\big) - \ln\big(e^{x^{2}}\big).
Agora simplificamos usando \ln(a^{b})=b\ln a e \ln(e^{g})=g:
\ln(f(x)) = x\ln(2x^{2}+1) + (x^{3}+2x) + \ln(x^{4}+3) - 2\ln(x^{2}+5x+2) - x^{2}.

Passo 4

Derivamos termo a termo. Lembrete das regras usadas:
  • Regra do produto: \frac{d}{dx}[u(x)v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Regra da cadeia para \ln(u(x)): \frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.
    Vou calcular cuidadosamente cada derivada.
Primeiro termo: \frac{d}{dx}\big(x\ln(2x^{2}+1)\big).
Aqui é produto de x por \ln(2x^{2}+1). Aplicando produto:
\frac{d}{dx}\big(x\ln(2x^{2}+1)\big)=1\cdot\ln(2x^{2}+1)+x\cdot\frac{d}{dx}\big(\ln(2x^{2}+1)\big).
Agora a derivada da logaritmo, pela cadeia:
\frac{d}{dx}\big(\ln(2x^{2}+1)\big)=\frac{(2x^{2}+1)'}{2x^{2}+1}=\frac{4x}{2x^{2}+1}.
Logo
\frac{d}{dx}\big(x\ln(2x^{2}+1)\big)=\ln(2x^{2}+1)+x\cdot\frac{4x}{2x^{2}+1} =\ln(2x^{2}+1)+\frac{4x^{2}}{2x^{2}+1}.

Passo 5

Segundo termo: \frac{d}{dx}(x^{3}+2x)=3x^{2}+2. (derivada direta de polinômio)

Passo 6

Terceiro termo: \frac{d}{dx}\big(\ln(x^{4}+3)\big).
Usando cadeia:
\frac{d}{dx}\big(\ln(x^{4}+3)\big)=\frac{(x^{4}+3)'}{x^{4}+3}=\frac{4x^{3}}{x^{4}+3}.

Passo 7

Quarto termo: \frac{d}{dx}\big(-2\ln(x^{2}+5x+2)\big).
Constante -2 sai na frente; depois cadeia:
-2\cdot\frac{d}{dx}\big(\ln(x^{2}+5x+2)\big)=-2\cdot\frac{2x+5}{x^{2}+5x+2}.

Passo 8

Quinto termo: \frac{d}{dx}(-x^{2})=-2x.

Passo 9

Somamos todas as derivadas para obter \frac{d}{dx}\ln(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)}. Juntando os resultados dos passos anteriores:
\frac{f'(x)}{f(x)}=\ln(2x^{2}+1)+\frac{4x^{2}}{2x^{2}+1}+(3x^{2}+2)+\frac{4x^{3}}{x^{4}+3}-2\cdot\frac{2x+5}{x^{2}+5x+2}-2x.
Podemos agrupar 3x^{2}+2-2x para simplificar um pouco:
\frac{f'(x)}{f(x)}=\ln(2x^{2}+1)+\frac{4x^{2}}{2x^{2}+1}+3x^{2}-2x+2+\frac{4x^{3}}{x^{4}+3}-\frac{2(2x+5)}{x^{2}+5x+2}.

Passo 10

Finalmente recuperamos f'(x) multiplicando ambos os lados por f(x). Ou seja,
f'(x)=f(x)\left[\ln(2x^{2}+1)+\frac{4x^{2}}{2x^{2}+1}+3x^{2}-2x+2+\frac{4x^{3}}{x^{4}+3}-\frac{2(2x+5)}{x^{2}+5x+2}\right].
Se quiseres a forma explícita substituindo f(x), basta multiplicar pelo quociente original.

Resposta

f'(x)=\frac{\left(2 x^{2}+1\right)^{x} e^{x^{3}+2 x}\left(x^{4}+3\right)}{\left(x^{2}+5 x+2\right)^{2} e^{x^{2}}}\left[\ln\!\left(2x^{2}+1\right)+\frac{4x^{2}}{2x^{2}+1}+3x^{2}-2x+2+\frac{4x^{3}}{x^{4}+3}-\frac{2(2x+5)}{x^{2}+5x+2}\right].

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