Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
t)
’
t)
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas (explicitadas para não nos perder):
A tarefa é: calcular
.
Passo 2
Ideia da técnica (explicação didática e curta): quando uma função é produto/quociente de potências e exponenciais, é muito prático tomar o logaritmo natural e derivar. Isso transforma produtos em somas e potências em coeficientes, simplificando as contas. Importante: ao tomar
usamos a regra
ou seja, depois de calcular
recuperamos
por
Aqui vou aplicar essa técnica passo a passo. Fica tranquilo: vou explicar cada derivada que aparecer.
Passo 3
Tomamos logaritmo natural de
e usamos propriedades de log:
Agora simplificamos usando
e
:
Passo 4
Derivamos termo a termo. Lembrete das regras usadas:
- Regra do produto:
. - Regra da cadeia para
: .
Vou calcular cuidadosamente cada derivada.
Primeiro termo:
.
Aqui é produto de por
. Aplicando produto:
Aqui é produto de
Agora a derivada da logaritmo, pela cadeia:
Logo
Passo 5
Segundo termo:
(derivada direta de polinômio)
Passo 6
Terceiro termo:
.
Usando cadeia:
Usando cadeia:
Passo 7
Quarto termo:
.
Constante sai na frente; depois cadeia:
Constante
Passo 8
Quinto termo:
Passo 9
Somamos todas as derivadas para obter
. Juntando os resultados dos passos anteriores:
Podemos agrupar
para simplificar um pouco:
Passo 10
Finalmente recuperamos
multiplicando ambos os lados por
. Ou seja,
Se quiseres a forma explícita substituindo
, basta multiplicar pelo quociente original.